Страница 275 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

978. Решите систему неравенств:

1) $ \begin{cases} x^2 - 5x - 6 < 0, \\ x > -1,2; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x^2 - 5x - 6 < 0, \\ x > 0; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} x^2 - 5x - 6 < 0, \\ x \geq 6; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} x^2 - 5x - 6 \leq 0, \\ x \geq 6; \end{cases} $

5) $ \begin{cases} 6x^2 + x - 2 > 0, \\ x > 1; \end{cases} $

6) $ \begin{cases} 6x^2 + x - 2 > 0, \\ x > -\frac{1}{3}; \end{cases} $

7) $ \begin{cases} 6x^2 + x - 2 > 0, \\ x > -2; \end{cases} $

8) $ \begin{cases} 6x^2 + x - 2 \geq 0, \\ x \leq \frac{1}{2}. \end{cases} $

1) Решим систему неравенств: $\begin{cases} x^2 - 5x - 6 < 0, \\ x > -1,2. \end{cases}$

Сначала решим первое неравенство $x^2 - 5x - 6 < 0$. Для этого найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 5x - 6$. Приравняем его к нулю: $x^2 - 5x - 6 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49$.

Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 7}{2} = -1$ и $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 7}{2} = 6$.

Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$), ветви параболы $y = x^2 - 5x - 6$ направлены вверх. Неравенство $x^2 - 5x - 6 < 0$ выполняется на интервале между корнями. Таким образом, решение первого неравенства: $x \in (-1; 6)$.

Второе неравенство системы $x > -1,2$ задает промежуток $x \in (-1,2; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $x \in (-1; 6) \cap (-1,2; +\infty)$. Общим решением является интервал, который удовлетворяет обоим условиям. Это интервал $(-1; 6)$.

Ответ: $x \in (-1; 6)$.

2) Решим систему неравенств: $\begin{cases} x^2 - 5x - 6 < 0, \\ x > 0. \end{cases}$

Решение первого неравенства $x^2 - 5x - 6 < 0$ было найдено в предыдущем пункте: $x \in (-1; 6)$.

Второе неравенство системы $x > 0$ задает промежуток $x \in (0; +\infty)$.

Найдем пересечение полученных промежутков: $x \in (-1; 6) \cap (0; +\infty)$. Общей частью этих двух интервалов является интервал $(0; 6)$.

Ответ: $x \in (0; 6)$.

3) Решим систему неравенств: $\begin{cases} x^2 - 5x - 6 < 0, \\ x \ge 6. \end{cases}$

Решение первого неравенства $x^2 - 5x - 6 < 0$ известно: $x \in (-1; 6)$.

Второе неравенство системы $x \ge 6$ задает промежуток $x \in [6; +\infty)$.

Найдем пересечение этих двух множеств: $x \in (-1; 6) \cap [6; +\infty)$. Первый интервал содержит числа строго меньше 6, а второй — числа, которые больше или равны 6. У этих множеств нет общих точек.

Ответ: решений нет (или $x \in \emptyset$).

4) Решим систему неравенств: $\begin{cases} x^2 - 5x - 6 \le 0, \\ x \ge 6. \end{cases}$

Решим первое неравенство $x^2 - 5x - 6 \le 0$. Корни соответствующего уравнения $x^2 - 5x - 6 = 0$ равны -1 и 6. Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни. Решение: $x \in [-1; 6]$.

Второе неравенство системы $x \ge 6$ задает промежуток $x \in [6; +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $x \in [-1; 6] \cap [6; +\infty)$. Единственная точка, которая принадлежит обоим множествам, — это точка $x=6$.

Ответ: $x = 6$.

5) Решим систему неравенств: $\begin{cases} 6x^2 + x - 2 > 0, \\ x > 1. \end{cases}$

Сначала решим первое неравенство $6x^2 + x - 2 > 0$. Найдем корни уравнения $6x^2 + x - 2 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-2) = 1 + 48 = 49$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-1 - 7}{12} = -\frac{8}{12} = -\frac{2}{3}$ и $x_2 = \frac{-1 + 7}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.

Ветви параболы $y = 6x^2 + x - 2$ направлены вверх ($a=6 > 0$), поэтому неравенство $6x^2 + x - 2 > 0$ выполняется за пределами корней. Решение: $x \in (-\infty; -\frac{2}{3}) \cup (\frac{1}{2}; +\infty)$.

Второе неравенство системы $x > 1$ задает промежуток $x \in (1; +\infty)$.

Найдем пересечение множеств $(-\infty; -\frac{2}{3}) \cup (\frac{1}{2}; +\infty)$ и $(1; +\infty)$. Так как $1 > \frac{1}{2}$, то пересечением будет интервал $(1; +\infty)$.

Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

6) Решим систему неравенств: $\begin{cases} 6x^2 + x - 2 > 0, \\ x > -\frac{1}{3}. \end{cases}$

Решение первого неравенства $6x^2 + x - 2 > 0$ было найдено в пункте 5: $x \in (-\infty; -\frac{2}{3}) \cup (\frac{1}{2}; +\infty)$.

Второе неравенство $x > -\frac{1}{3}$ задает промежуток $x \in (-\frac{1}{3}; +\infty)$.

Найдем пересечение множеств $(-\infty; -\frac{2}{3}) \cup (\frac{1}{2}; +\infty)$ и $(-\frac{1}{3}; +\infty)$.

Сравним $-\frac{2}{3}$ и $-\frac{1}{3}$. Так как $-\frac{2}{3} < -\frac{1}{3}$, интервал $(-\infty; -\frac{2}{3})$ не имеет пересечения с $(-\frac{1}{3}; +\infty)$.

Остается найти пересечение $(\frac{1}{2}; +\infty)$ и $(-\frac{1}{3}; +\infty)$. Так как $\frac{1}{2} > -\frac{1}{3}$, их пересечением будет интервал $(\frac{1}{2}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (\frac{1}{2}; +\infty)$.

7) Решим систему неравенств: $\begin{cases} 6x^2 + x - 2 > 0, \\ x > -2. \end{cases}$

Решение первого неравенства $6x^2 + x - 2 > 0$ известно: $x \in (-\infty; -\frac{2}{3}) \cup (\frac{1}{2}; +\infty)$.

Второе неравенство $x > -2$ задает промежуток $x \in (-2; +\infty)$.

Найдем пересечение $(-\infty; -\frac{2}{3}) \cup (\frac{1}{2}; +\infty)$ и $(-2; +\infty)$.

Пересечение первого интервала $(-\infty; -\frac{2}{3})$ с $(-2; +\infty)$ дает $(-2; -\frac{2}{3})$.

Пересечение второго интервала $(\frac{1}{2}; +\infty)$ с $(-2; +\infty)$ дает $(\frac{1}{2}; +\infty)$.

Объединяя эти результаты, получаем решение системы.

Ответ: $x \in (-2; -\frac{2}{3}) \cup (\frac{1}{2}; +\infty)$.

8) Решим систему неравенств: $\begin{cases} 6x^2 + x - 2 \ge 0, \\ x \le \frac{1}{2}. \end{cases}$

Решим первое неравенство $6x^2 + x - 2 \ge 0$. Корни соответствующего уравнения $6x^2 + x - 2 = 0$ равны $-\frac{2}{3}$ и $\frac{1}{2}$. Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется на лучах за пределами корней, включая сами корни. Решение: $x \in (-\infty; -\frac{2}{3}] \cup [\frac{1}{2}; +\infty)$.

Второе неравенство системы $x \le \frac{1}{2}$ задает промежуток $x \in (-\infty; \frac{1}{2}]$.

Найдем пересечение множеств $((-\infty; -\frac{2}{3}] \cup [\frac{1}{2}; +\infty))$ и $(-\infty; \frac{1}{2}]$.

Пересечение первого луча $(-\infty; -\frac{2}{3}]$ с $(-\infty; \frac{1}{2}]$ дает $(-\infty; -\frac{2}{3}]$.

Пересечение второго луча $[\frac{1}{2}; +\infty)$ с $(-\infty; \frac{1}{2}]$ дает единственную точку $\{ \frac{1}{2} \}$.

Объединяя эти результаты, получаем решение системы.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{2}{3}] \cup \{ \frac{1}{2} \}$.

979. Решите неравенство:

1) $\frac{x^2 - 16}{|x + 1|} \le 0;$

2) $\frac{x^2 - 5x - 14}{|x - 8|} \ge 0.$

1) Решим неравенство $\frac{x^2 - 16}{|x + 1|} \le 0$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $|x + 1| \ne 0$, что означает $x + 1 \ne 0$ и, следовательно, $x \ne -1$.

Выражение в знаменателе $|x + 1|$ (модуль) является неотрицательным для любого значения $x$. Так как мы уже исключили $x = -1$, знаменатель $|x + 1|$ всегда строго больше нуля для всех $x$ из ОДЗ.

Поскольку знаменатель дроби всегда положителен, знак всей дроби зависит только от знака числителя. Таким образом, исходное неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - 16 \le 0, \\ x \ne -1. \end{cases}$

Решим первое неравенство $x^2 - 16 \le 0$. Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов: $(x - 4)(x + 4) \le 0$.

Найдем корни уравнения $(x - 4)(x + 4) = 0$. Корни: $x_1 = -4$ и $x_2 = 4$.

Графиком функции $y=x^2-16$ является парабола с ветвями вверх. Следовательно, неравенство $x^2 - 16 \le 0$ выполняется между корнями (включая сами корни). Решением этого неравенства является промежуток $x \in [-4, 4]$.

Теперь учтем условие $x \ne -1$. Точка $x = -1$ находится внутри промежутка $[-4, 4]$, поэтому ее необходимо исключить. Объединяя результаты, получаем решение исходного неравенства.

Ответ: $x \in [-4, -1) \cup (-1, 4]$.

2) Решим неравенство $\frac{x^2 - 5x - 14}{|x - 8|} \ge 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен равняться нулю, то есть $|x - 8| \ne 0$, откуда $x \ne 8$.

Знаменатель $|x - 8|$ всегда положителен при всех $x$ из ОДЗ ($x \ne 8$).

Поскольку знаменатель дроби положителен, знак дроби определяется знаком числителя. Следовательно, неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - 5x - 14 \ge 0, \\ x \ne 8. \end{cases}$

Решим квадратное неравенство $x^2 - 5x - 14 \ge 0$. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 5x - 14 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81 = 9^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{5 - 9}{2} = -2$ и $x_2 = \frac{5 + 9}{2} = 7$.

Графиком функции $y = x^2 - 5x - 14$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $x^2 - 5x - 14 \ge 0$ выполняется на промежутках вне корней, включая сами корни. Таким образом, решение этого неравенства: $x \in (-\infty, -2] \cup [7, \infty)$.

Теперь учтем ограничение из ОДЗ: $x \ne 8$. Число 8 входит в промежуток $[7, \infty)$, поэтому мы должны исключить эту точку. Разбиваем промежуток $[7, \infty)$ на два: $[7, 8)$ и $(8, \infty)$.

Объединяя все, получаем окончательное решение.

Ответ: $x \in (-\infty, -2] \cup [7, 8) \cup (8, \infty)$.

980. Найдите область определения функции:

1) $y = \frac{4}{\sqrt{x^2 + 3x - 10}} + \frac{1}{3x - 9}$;

2) $y = \frac{6}{\sqrt{12 + x - x^2}} - \frac{2}{x^2 - 4}$;

3) $y = \sqrt{49 - x^2} + \frac{1}{\sqrt{x^2 + 3x - 4}}$.

1) $y = \frac{4}{\sqrt{x^2 + 3x - 10}} + \frac{1}{3x - 9}$

Область определения функции (ОДЗ) — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Для данной функции необходимо выполнение двух условий одновременно:

1. Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго больше нуля: $x^2 + 3x - 10 > 0$.

2. Знаменатель второй дроби не должен быть равен нулю: $3x - 9 \neq 0$.

Решим эти условия в виде системы:

$\begin{cases} x^2 + 3x - 10 > 0 \\ 3x - 9 \neq 0 \end{cases}$

Решаем первое неравенство $x^2 + 3x - 10 > 0$.
Сначала найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 3x - 10 = 0$.
Используем теорему Виета: сумма корней равна -3, произведение равно -10. Корни: $x_1 = -5$ и $x_2 = 2$.
Либо через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$.
$x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{-3 \pm 7}{2}$.
$x_1 = \frac{-3 - 7}{2} = -5$, $x_2 = \frac{-3 + 7}{2} = 2$.
Парабола $y = x^2 + 3x - 10$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $x^2 + 3x - 10 > 0$ выполняется вне интервала между корнями.
Решение: $x \in (-\infty; -5) \cup (2; +\infty)$.

Решаем второе условие $3x - 9 \neq 0$.
$3x \neq 9$
$x \neq 3$.

Теперь найдем пересечение полученных множеств. Мы должны исключить точку $x = 3$ из множества $(-\infty; -5) \cup (2; +\infty)$.
Точка $3$ находится в интервале $(2; +\infty)$, поэтому этот интервал разбивается на два: $(2; 3)$ и $(3; +\infty)$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; -5) \cup (2; 3) \cup (3; +\infty)$.

2) $y = \frac{6}{\sqrt{12 + x - x^2}} - \frac{2}{x^2 - 4}$

Область определения функции находится из системы условий:

1. Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго больше нуля: $12 + x - x^2 > 0$.

2. Знаменатель второй дроби не должен быть равен нулю: $x^2 - 4 \neq 0$.

Решим систему:

$\begin{cases} 12 + x - x^2 > 0 \\ x^2 - 4 \neq 0 \end{cases}$

Решаем первое неравенство $12 + x - x^2 > 0$.
Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства: $x^2 - x - 12 < 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - x - 12 = 0$.
По теореме Виета: сумма корней равна 1, произведение равно -12. Корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = 4$.
Парабола $y = x^2 - x - 12$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $x^2 - x - 12 < 0$ выполняется на интервале между корнями.
Решение: $x \in (-3; 4)$.

Решаем второе условие $x^2 - 4 \neq 0$.
$(x-2)(x+2) \neq 0$
$x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Теперь найдем пересечение множеств: $x \in (-3; 4)$ и $x \neq \pm 2$.
Обе точки, $x = -2$ и $x = 2$, находятся внутри интервала $(-3; 4)$, поэтому мы должны их исключить ("выколоть").

Ответ: $D(y) = (-3; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; 4)$.

3) $y = \sqrt{49 - x^2} + \frac{1}{\sqrt{x^2 + 3x - 4}}$

Область определения функции находится из системы условий:

1. Выражение под первым корнем должно быть неотрицательным: $49 - x^2 \ge 0$.

2. Выражение под вторым корнем (в знаменателе) должно быть строго положительным: $x^2 + 3x - 4 > 0$.

Решим систему:

$\begin{cases} 49 - x^2 \ge 0 \\ x^2 + 3x - 4 > 0 \end{cases}$

Решаем первое неравенство $49 - x^2 \ge 0$.
$x^2 \le 49$
$|x| \le 7$
Решение: $x \in [-7; 7]$.

Решаем второе неравенство $x^2 + 3x - 4 > 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + 3x - 4 = 0$.
По теореме Виета: сумма корней равна -3, произведение равно -4. Корни: $x_1 = -4$ и $x_2 = 1$.
Парабола $y = x^2 + 3x - 4$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $x^2 + 3x - 4 > 0$ выполняется вне интервала между корнями.
Решение: $x \in (-\infty; -4) \cup (1; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение полученных решений: $x \in [-7; 7]$ и $x \in (-\infty; -4) \cup (1; +\infty)$.
Пересечение $[-7; 7]$ с $(-\infty; -4)$ дает промежуток $[-7; -4)$.
Пересечение $[-7; 7]$ с $(1; +\infty)$ дает промежуток $(1; 7]$.
Объединим эти два промежутка.

Ответ: $D(y) = [-7; -4) \cup (1; 7]$.

981. При каких значениях a имеет два различных корня уравнение:

1) $2x^2 + ax + a - 2 = 0;$

2) $(2a - 1)x^2 + (a - 3)x + 1 = 0;$

3) $ax^2 - (3a + 1)x + a = 0?$

1) Уравнение $2x^2 + ax + a - 2 = 0$ является квадратным, так как коэффициент при $x^2$ равен 2 и не равен нулю. Квадратное уравнение имеет два различных корня, когда его дискриминант $D$ строго больше нуля. Найдем дискриминант данного уравнения. Коэффициенты: $A=2$, $B=a$, $C=a-2$.
$D = B^2 - 4AC = a^2 - 4 \cdot 2 \cdot (a - 2) = a^2 - 8(a - 2) = a^2 - 8a + 16$.
Решим неравенство $D > 0$:
$a^2 - 8a + 16 > 0$.
Левая часть неравенства является полным квадратом:
$(a - 4)^2 > 0$.
Квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть $(a - 4)^2 \ge 0$. Равенство нулю достигается при $a - 4 = 0$, то есть при $a = 4$. Следовательно, неравенство $(a - 4)^2 > 0$ выполняется для всех значений $a$, кроме $a = 4$.

Ответ: $a \in (-\infty, 4) \cup (4, +\infty)$.

2) Рассмотрим уравнение $(2a - 1)x^2 + (a - 3)x + 1 = 0$.
Сначала проверим случай, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю, то есть $2a - 1 = 0$, что дает $a = 1/2$. При $a = 1/2$ уравнение принимает вид:
$(2 \cdot \frac{1}{2} - 1)x^2 + (\frac{1}{2} - 3)x + 1 = 0$
$0 \cdot x^2 - \frac{5}{2}x + 1 = 0$
$-\frac{5}{2}x = -1$, откуда $x = \frac{2}{5}$.
В этом случае уравнение является линейным и имеет только один корень, что не удовлетворяет условию задачи. Значит, $a \neq 1/2$.
При $a \neq 1/2$ уравнение является квадратным. Оно имеет два различных корня, если его дискриминант $D > 0$. Коэффициенты: $A = 2a - 1$, $B = a - 3$, $C = 1$.
$D = B^2 - 4AC = (a - 3)^2 - 4(2a - 1) \cdot 1 = (a^2 - 6a + 9) - (8a - 4) = a^2 - 14a + 13$.
Решим неравенство $D > 0$:
$a^2 - 14a + 13 > 0$.
Найдем корни квадратного трехчлена $a^2 - 14a + 13 = 0$. По теореме Виета, корни равны $a_1 = 1$ и $a_2 = 13$. Парабола $y = a^2 - 14a + 13$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство выполняется для значений $a$, находящихся вне интервала между корнями: $a < 1$ или $a > 13$.
Объединим это решение с условием $a \neq 1/2$. Так как $1/2 < 1$, значение $a = 1/2$ нужно исключить из интервала $(-\infty, 1)$.

Ответ: $a \in (-\infty, 1/2) \cup (1/2, 1) \cup (13, +\infty)$.

3) Рассмотрим уравнение $ax^2 - (3a + 1)x + a = 0$.
Сначала проверим случай, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю, то есть $a = 0$. При $a = 0$ уравнение принимает вид:
$0 \cdot x^2 - (3 \cdot 0 + 1)x + 0 = 0$
$-x = 0$, откуда $x = 0$.
В этом случае уравнение является линейным и имеет только один корень, что не удовлетворяет условию. Значит, $a \neq 0$.
При $a \neq 0$ уравнение является квадратным. Оно имеет два различных корня, если его дискриминант $D > 0$. Коэффициенты: $A = a$, $B = -(3a + 1)$, $C = a$.
$D = B^2 - 4AC = (-(3a + 1))^2 - 4 \cdot a \cdot a = (3a + 1)^2 - 4a^2 = (9a^2 + 6a + 1) - 4a^2 = 5a^2 + 6a + 1$.
Решим неравенство $D > 0$:
$5a^2 + 6a + 1 > 0$.
Найдем корни квадратного трехчлена $5a^2 + 6a + 1 = 0$ с помощью формулы корней:
$a = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1}}{2 \cdot 5} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 20}}{10} = \frac{-6 \pm \sqrt{16}}{10} = \frac{-6 \pm 4}{10}$.
Корни: $a_1 = \frac{-6 - 4}{10} = -1$ и $a_2 = \frac{-6 + 4}{10} = -\frac{2}{10} = -1/5$.
Парабола $y = 5a^2 + 6a + 1$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство выполняется для $a < -1$ или $a > -1/5$.
Учитывая условие $a \neq 0$, нужно исключить точку $a=0$ из интервала $(-1/5, +\infty)$.

Ответ: $a \in (-\infty, -1) \cup (-1/5, 0) \cup (0, +\infty)$.

982. При каких значениях a множеством решений неравенства является

множество действительных чисел:

1) $5x^2 - x + a > 0;$

2) $ax^2 - 10x - 5 < 0;$

3) $ax^2 - 2(a - 1)x + 4a \le 0;$

4) $(a - 1)x^2 - (a + 1)x + a + 1 > 0?$

1) $5x^2 - x + a > 0$

Данное неравенство является квадратным относительно переменной $x$. Графиком функции $y = 5x^2 - x + a$ является парабола. Чтобы неравенство $y > 0$ выполнялось для всех действительных чисел $x$, парабола должна быть расположена полностью выше оси абсцисс. Это возможно, если выполняются два условия:

1. Старший коэффициент (коэффициент при $x^2$) должен быть положительным.
2. Квадратный трехчлен не должен иметь действительных корней, то есть его дискриминант $D$ должен быть отрицательным.

Проверим эти условия:

1. Старший коэффициент равен $5$. Так как $5 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Первое условие выполнено.

2. Найдем дискриминант квадратного трехчлена $5x^2 - x + a$:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 5 \cdot a = 1 - 20a$.

Дискриминант должен быть отрицательным:

$1 - 20a < 0$

$1 < 20a$

$a > \frac{1}{20}$

Таким образом, множество решений неравенства является множеством действительных чисел при $a > \frac{1}{20}$.

Ответ: $a \in (\frac{1}{20}; +\infty)$.

2) $ax^2 - 10x - 5 < 0$

Чтобы данное неравенство выполнялось для всех действительных чисел $x$, рассмотрим два случая.

Случай 1: $a = 0$.
Неравенство становится линейным: $0 \cdot x^2 - 10x - 5 < 0$, что равносильно $-10x < 5$, или $x > -0.5$. Это решение не является множеством всех действительных чисел, поэтому $a = 0$ не подходит.

Случай 2: $a \neq 0$.
Неравенство является квадратным. Чтобы парабола $y = ax^2 - 10x - 5$ была полностью расположена ниже оси абсцисс, необходимо выполнение двух условий:

1. Старший коэффициент $a$ должен быть отрицательным ($a < 0$).
2. Дискриминант $D$ должен быть отрицательным ($D < 0$).

Проверим эти условия:

1. $a < 0$.

2. Найдем дискриминант: $D = (-10)^2 - 4 \cdot a \cdot (-5) = 100 + 20a$.

Дискриминант должен быть отрицательным:

$100 + 20a < 0$

$20a < -100$

$a < -5$

Объединим оба условия: $a < 0$ и $a < -5$. Пересечением этих двух условий является $a < -5$.

Ответ: $a \in (-\infty; -5)$.

3) $ax^2 - 2(a - 1)x + 4a \leq 0$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $a = 0$.
Неравенство принимает вид: $0 \cdot x^2 - 2(0 - 1)x + 4 \cdot 0 \leq 0$, что равносильно $2x \leq 0$, или $x \leq 0$. Решением не является множество всех действительных чисел, значит $a = 0$ не подходит.

Случай 2: $a \neq 0$.
Чтобы квадратичная функция $y = ax^2 - 2(a - 1)x + 4a$ была неположительной ($y \leq 0$) для всех $x$, ее график (парабола) должен быть расположен не выше оси абсцисс. Это означает, что парабола может касаться оси или лежать ниже нее. Условия:

1. Старший коэффициент $a$ должен быть отрицательным ($a < 0$).
2. Дискриминант $D$ должен быть неположительным ($D \leq 0$).

Проверим условия:

1. $a < 0$.

2. Найдем дискриминант. Удобнее использовать формулу для $D_1 = (\frac{b}{2})^2 - ac$:
$D_1 = (-(a-1))^2 - a \cdot (4a) = (a-1)^2 - 4a^2 = a^2 - 2a + 1 - 4a^2 = -3a^2 - 2a + 1$.

Требуется, чтобы $D_1 \leq 0$ (что эквивалентно $D \leq 0$):

$-3a^2 - 2a + 1 \leq 0$

Умножим на -1, изменив знак неравенства:

$3a^2 + 2a - 1 \geq 0$

Найдем корни уравнения $3a^2 + 2a - 1 = 0$:

$a = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1)}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{6} = \frac{-2 \pm 4}{6}$.

Корни: $a_1 = \frac{-2 - 4}{6} = -1$ и $a_2 = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{1}{3}$.

Поскольку парабола $y = 3a^2 + 2a - 1$ имеет ветви вверх, неравенство $3a^2 + 2a - 1 \geq 0$ выполняется при $a \in (-\infty; -1] \cup [\frac{1}{3}; +\infty)$.

Теперь нужно найти пересечение этого множества с условием $a < 0$. Пересечением является интервал $a \leq -1$.

Ответ: $a \in (-\infty; -1]$.

4) $(a - 1)x^2 - (a + 1)x + a + 1 > 0$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: Старший коэффициент равен нулю, то есть $a - 1 = 0 \implies a = 1$.
Подставим $a = 1$ в неравенство: $(1-1)x^2 - (1+1)x + (1+1) > 0$

$-2x + 2 > 0 \implies 2 > 2x \implies x < 1$. Решением не является множество всех действительных чисел, поэтому $a=1$ не подходит.

Случай 2: $a - 1 \neq 0$.
Чтобы неравенство выполнялось для всех $x$, парабола $y = (a - 1)x^2 - (a + 1)x + a + 1$ должна лежать полностью выше оси абсцисс. Условия:

1. Старший коэффициент $a-1$ должен быть положительным ($a-1 > 0$).
2. Дискриминант $D$ должен быть отрицательным ($D < 0$).

Проверим условия:

1. $a - 1 > 0 \implies a > 1$.

2. Найдем дискриминант:

$D = (-(a+1))^2 - 4(a-1)(a+1) = (a+1)^2 - 4(a-1)(a+1)$.

Вынесем общий множитель $(a+1)$:

$D = (a+1)((a+1) - 4(a-1)) = (a+1)(a+1 - 4a + 4) = (a+1)(-3a+5)$.

Требуется, чтобы $D < 0$:

$(a+1)(5-3a) < 0$.

Найдем корни выражения $(a+1)(5-3a) = 0$. Корни: $a = -1$ и $a = \frac{5}{3}$. Графиком функции $y = (a+1)(5-3a) = -3a^2 + ...$ является парабола с ветвями вниз. Неравенство $y < 0$ выполняется, когда $a$ находится за пределами корней:

$a \in (-\infty; -1) \cup (\frac{5}{3}; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение этого множества с условием $a > 1$. Пересечением множеств $(-\infty; -1) \cup (\frac{5}{3}; +\infty)$ и $(1; +\infty)$ является интервал $(\frac{5}{3}; +\infty)$.

Ответ: $a \in (\frac{5}{3}; +\infty)$.

983. Решите графически систему уравнений:

1) $\begin{cases} y - x^2 = 3, \\ x + y = 5; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x - y = 7, \\ xy = -12; \end{cases}$

3) $\begin{cases} y = x^2 - 4, \\ y = -x^2 + 4x - 4; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ y = x^2 - 5. \end{cases}$

1) Для решения системы уравнений $ \begin{cases} y - x^2 = 3, \\ x + y = 5; \end{cases} $ графическим методом, построим графики каждого уравнения в одной системе координат.

Первое уравнение, $y - x^2 = 3$, преобразуем к виду $y = x^2 + 3$. Это уравнение параболы, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0, 3)$. Для построения можно найти несколько точек, например, $(1, 4)$ и $(-1, 4)$, $(2, 7)$ и $(-2, 7)$.

Второе уравнение, $x + y = 5$, преобразуем к виду $y = -x + 5$. Это уравнение прямой линии. Для её построения достаточно двух точек, например, точки пересечения с осями координат: $(0, 5)$ и $(5, 0)$.

Построив оба графика, находим их точки пересечения. Координаты этих точек и являются решением системы. Графики пересекаются в двух точках. Ответ: $(-2, 7), (1, 4)$.

2) Для решения системы $ \begin{cases} x - y = 7, \\ xy = -12; \end{cases} $ построим графики функций.

Первое уравнение $x - y = 7$ можно представить в виде $y = x - 7$. Это прямая линия, которую можно построить по двум точкам, например, $(7, 0)$ и $(3, -4)$.

Второе уравнение $xy = -12$ представим как $y = -12/x$. Это гипербола, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат. Для построения можно взять точки $(3, -4)$, $(4, -3)$, $(-3, 4)$, $(-4, 3)$.

Решениями системы являются координаты точек пересечения прямой и гиперболы. Из графиков видно, что это точки с координатами $(3, -4)$ и $(4, -3)$. Ответ: $(3, -4), (4, -3)$.

3) Рассмотрим систему $ \begin{cases} y = x^2 - 4, \\ y = -x^2 + 4x - 4; \end{cases} $. Для её решения построим графики двух парабол.

Первый график — парабола $y = x^2 - 4$. Это стандартная парабола $y=x^2$, смещенная на 4 единицы вниз. Её вершина находится в точке $(0, -4)$, а ветви направлены вверх.

Второй график — парабола $y = -x^2 + 4x - 4$. Выделим полный квадрат: $y = -(x^2 - 4x + 4) = -(x-2)^2$. Это стандартная парабола $y=-x^2$, смещенная на 2 единицы вправо. Её вершина находится в точке $(2, 0)$, а ветви направлены вниз.

Находим точки пересечения парабол. Их координаты будут решением системы. Графики пересекаются в двух точках. Ответ: $(0, -4), (2, 0)$.

4) Решим графически систему $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ y = x^2 - 5. \end{cases} $.

Первое уравнение $x^2 + y^2 = 25$ — это уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{25} = 5$.

Второе уравнение $y = x^2 - 5$ — это парабола, полученная сдвигом параболы $y=x^2$ на 5 единиц вниз по оси $y$. Её вершина находится в точке $(0, -5)$, а ветви направлены вверх.

Решением системы являются координаты точек пересечения окружности и параболы. Построив графики, мы видим, что они пересекаются в трех точках. Ответ: $(-3, 4), (3, 4), (0, -5)$.