Номер 982, страница 275 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

982. При каких значениях a множеством решений неравенства является

множество действительных чисел:

1) $5x^2 - x + a > 0;$

2) $ax^2 - 10x - 5 < 0;$

3) $ax^2 - 2(a - 1)x + 4a \le 0;$

4) $(a - 1)x^2 - (a + 1)x + a + 1 > 0?$

1) $5x^2 - x + a > 0$

Данное неравенство является квадратным относительно переменной $x$. Графиком функции $y = 5x^2 - x + a$ является парабола. Чтобы неравенство $y > 0$ выполнялось для всех действительных чисел $x$, парабола должна быть расположена полностью выше оси абсцисс. Это возможно, если выполняются два условия:

1. Старший коэффициент (коэффициент при $x^2$) должен быть положительным.
2. Квадратный трехчлен не должен иметь действительных корней, то есть его дискриминант $D$ должен быть отрицательным.

Проверим эти условия:

1. Старший коэффициент равен $5$. Так как $5 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Первое условие выполнено.

2. Найдем дискриминант квадратного трехчлена $5x^2 - x + a$:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 5 \cdot a = 1 - 20a$.

Дискриминант должен быть отрицательным:

$1 - 20a < 0$

$1 < 20a$

$a > \frac{1}{20}$

Таким образом, множество решений неравенства является множеством действительных чисел при $a > \frac{1}{20}$.

Ответ: $a \in (\frac{1}{20}; +\infty)$.

2) $ax^2 - 10x - 5 < 0$

Чтобы данное неравенство выполнялось для всех действительных чисел $x$, рассмотрим два случая.

Случай 1: $a = 0$.
Неравенство становится линейным: $0 \cdot x^2 - 10x - 5 < 0$, что равносильно $-10x < 5$, или $x > -0.5$. Это решение не является множеством всех действительных чисел, поэтому $a = 0$ не подходит.

Случай 2: $a \neq 0$.
Неравенство является квадратным. Чтобы парабола $y = ax^2 - 10x - 5$ была полностью расположена ниже оси абсцисс, необходимо выполнение двух условий:

1. Старший коэффициент $a$ должен быть отрицательным ($a < 0$).
2. Дискриминант $D$ должен быть отрицательным ($D < 0$).

Проверим эти условия:

1. $a < 0$.

2. Найдем дискриминант: $D = (-10)^2 - 4 \cdot a \cdot (-5) = 100 + 20a$.

Дискриминант должен быть отрицательным:

$100 + 20a < 0$

$20a < -100$

$a < -5$

Объединим оба условия: $a < 0$ и $a < -5$. Пересечением этих двух условий является $a < -5$.

Ответ: $a \in (-\infty; -5)$.

3) $ax^2 - 2(a - 1)x + 4a \leq 0$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $a = 0$.
Неравенство принимает вид: $0 \cdot x^2 - 2(0 - 1)x + 4 \cdot 0 \leq 0$, что равносильно $2x \leq 0$, или $x \leq 0$. Решением не является множество всех действительных чисел, значит $a = 0$ не подходит.

Случай 2: $a \neq 0$.
Чтобы квадратичная функция $y = ax^2 - 2(a - 1)x + 4a$ была неположительной ($y \leq 0$) для всех $x$, ее график (парабола) должен быть расположен не выше оси абсцисс. Это означает, что парабола может касаться оси или лежать ниже нее. Условия:

1. Старший коэффициент $a$ должен быть отрицательным ($a < 0$).
2. Дискриминант $D$ должен быть неположительным ($D \leq 0$).

Проверим условия:

1. $a < 0$.

2. Найдем дискриминант. Удобнее использовать формулу для $D_1 = (\frac{b}{2})^2 - ac$:
$D_1 = (-(a-1))^2 - a \cdot (4a) = (a-1)^2 - 4a^2 = a^2 - 2a + 1 - 4a^2 = -3a^2 - 2a + 1$.

Требуется, чтобы $D_1 \leq 0$ (что эквивалентно $D \leq 0$):

$-3a^2 - 2a + 1 \leq 0$

Умножим на -1, изменив знак неравенства:

$3a^2 + 2a - 1 \geq 0$

Найдем корни уравнения $3a^2 + 2a - 1 = 0$:

$a = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1)}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{6} = \frac{-2 \pm 4}{6}$.

Корни: $a_1 = \frac{-2 - 4}{6} = -1$ и $a_2 = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{1}{3}$.

Поскольку парабола $y = 3a^2 + 2a - 1$ имеет ветви вверх, неравенство $3a^2 + 2a - 1 \geq 0$ выполняется при $a \in (-\infty; -1] \cup [\frac{1}{3}; +\infty)$.

Теперь нужно найти пересечение этого множества с условием $a < 0$. Пересечением является интервал $a \leq -1$.

Ответ: $a \in (-\infty; -1]$.

4) $(a - 1)x^2 - (a + 1)x + a + 1 > 0$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: Старший коэффициент равен нулю, то есть $a - 1 = 0 \implies a = 1$.
Подставим $a = 1$ в неравенство: $(1-1)x^2 - (1+1)x + (1+1) > 0$

$-2x + 2 > 0 \implies 2 > 2x \implies x < 1$. Решением не является множество всех действительных чисел, поэтому $a=1$ не подходит.

Случай 2: $a - 1 \neq 0$.
Чтобы неравенство выполнялось для всех $x$, парабола $y = (a - 1)x^2 - (a + 1)x + a + 1$ должна лежать полностью выше оси абсцисс. Условия:

1. Старший коэффициент $a-1$ должен быть положительным ($a-1 > 0$).
2. Дискриминант $D$ должен быть отрицательным ($D < 0$).

Проверим условия:

1. $a - 1 > 0 \implies a > 1$.

2. Найдем дискриминант:

$D = (-(a+1))^2 - 4(a-1)(a+1) = (a+1)^2 - 4(a-1)(a+1)$.

Вынесем общий множитель $(a+1)$:

$D = (a+1)((a+1) - 4(a-1)) = (a+1)(a+1 - 4a + 4) = (a+1)(-3a+5)$.

Требуется, чтобы $D < 0$:

$(a+1)(5-3a) < 0$.

Найдем корни выражения $(a+1)(5-3a) = 0$. Корни: $a = -1$ и $a = \frac{5}{3}$. Графиком функции $y = (a+1)(5-3a) = -3a^2 + ...$ является парабола с ветвями вниз. Неравенство $y < 0$ выполняется, когда $a$ находится за пределами корней:

$a \in (-\infty; -1) \cup (\frac{5}{3}; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение этого множества с условием $a > 1$. Пересечением множеств $(-\infty; -1) \cup (\frac{5}{3}; +\infty)$ и $(1; +\infty)$ является интервал $(\frac{5}{3}; +\infty)$.

Ответ: $a \in (\frac{5}{3}; +\infty)$.