Номер 987, страница 276 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

987. При каком значении a система уравнений имеет единственное решение:

1) $\begin{cases} x - y = 2, \\ xy = a; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 6, \\ x + y = a? \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x - y = 2, \\ xy = a. \end{cases} $

Способ 1: Метод подстановки

Выразим $x$ из первого уравнения: $x = y + 2$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$(y + 2)y = a$

$y^2 + 2y = a$

$y^2 + 2y - a = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно переменной $y$. Исходная система будет иметь единственное решение в том и только в том случае, если это квадратное уравнение имеет единственный корень. Квадратное уравнение имеет один корень, когда его дискриминант $D$ равен нулю.

Найдем дискриминант для уравнения $y^2 + 2y - a = 0$:

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-a) = 4 + 4a$.

Приравняем дискриминант к нулю, чтобы найти значение $a$, при котором существует единственное решение:

$4 + 4a = 0$

$4a = -4$

$a = -1$

Способ 2: Графический метод

Первое уравнение $x - y = 2$ можно переписать как $y = x - 2$. Это уравнение задает прямую на координатной плоскости.

Второе уравнение $xy = a$ можно переписать как $y = a/x$ (при $a \neq 0$). Это уравнение задает гиперболу. Если $a=0$, то уравнение $xy=0$ задает пару пересекающихся прямых (оси координат).

Система имеет единственное решение, когда графики уравнений имеют ровно одну точку пересечения. Это соответствует случаю, когда прямая $y=x-2$ касается гиперболы $y=a/x$.

Найдем точки пересечения, приравняв выражения для $y$:

$x - 2 = \frac{a}{x}$

Умножим обе части на $x$ (подразумевая $x \neq 0$):

$x(x - 2) = a$

$x^2 - 2x - a = 0$

Это квадратное уравнение для нахождения абсцисс ($x$) точек пересечения. Единственная точка пересечения будет тогда, когда это уравнение имеет единственный корень, то есть его дискриминант равен нулю.

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-a) = 4 + 4a$

$4 + 4a = 0 \implies a = -1$

При $a=-1$ прямая и гипербола касаются, что дает одно решение. Если рассмотреть случай $a=0$, система $\begin{cases} y=x-2 \\ xy=0 \end{cases}$ имеет два решения: $(2,0)$ и $(0,-2)$, поэтому $a=0$ не подходит.

Ответ: $a = -1$.

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 6, \\ x + y = a. \end{cases} $

Способ 1: Метод подстановки

Выразим $y$ из второго уравнения: $y = a - x$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$x^2 + (a - x)^2 = 6$

$x^2 + a^2 - 2ax + x^2 = 6$

$2x^2 - 2ax + (a^2 - 6) = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно $x$. Система будет иметь единственное решение, если это уравнение имеет единственный корень, что происходит, когда его дискриминант равен нулю.

Найдем дискриминант $D$ уравнения $2x^2 - 2ax + (a^2 - 6) = 0$:

$D = (-2a)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (a^2 - 6) = 4a^2 - 8(a^2 - 6) = 4a^2 - 8a^2 + 48 = 48 - 4a^2$.

Приравняем дискриминант к нулю:

$48 - 4a^2 = 0$

$4a^2 = 48$

$a^2 = 12$

$a = \pm\sqrt{12} = \pm\sqrt{4 \cdot 3} = \pm 2\sqrt{3}$

Способ 2: Геометрический метод

Первое уравнение $x^2 + y^2 = 6$ — это уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{6}$.

Второе уравнение $x + y = a$, или $y = -x + a$, — это уравнение семейства параллельных прямых с угловым коэффициентом $-1$ и смещением $a$ по оси $y$.

Система имеет единственное решение, когда прямая касается окружности. Условие касания заключается в том, что расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности.

Расстояние $d$ от точки $(x_0, y_0)$ до прямой $Ax + By + C = 0$ находится по формуле $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$.

В нашем случае прямая задается уравнением $x + y - a = 0$ ($A=1, B=1, C=-a$), центр окружности — точка $(0, 0)$, а радиус $R = \sqrt{6}$.

Вычислим расстояние:

$d = \frac{|1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - a|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-a|}{\sqrt{2}} = \frac{|a|}{\sqrt{2}}$

Приравняем расстояние к радиусу:

$d = R \implies \frac{|a|}{\sqrt{2}} = \sqrt{6}$

$|a| = \sqrt{6} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

Следовательно, $a = 2\sqrt{3}$ или $a = -2\sqrt{3}$.

Ответ: $a = \pm 2\sqrt{3}$.