Номер 992, страница 277 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

992. Двое рабочих могут выполнить некоторое задание за 9 ч. Если бы первый проработал 1 ч 12 мин, а потом второй — 2 ч, то было бы выполнено 20 % задания. За какое время может выполнить самостоятельно это задание каждый рабочий?

Обозначим весь объем работы за 1. Пусть $x$ — время в часах, за которое первый рабочий может выполнить всю работу самостоятельно, а $y$ — время в часах, за которое второй рабочий может выполнить всю работу самостоятельно.

Тогда производительность (скорость выполнения работы) первого рабочего составляет $\frac{1}{x}$ работы в час, а производительность второго рабочего — $\frac{1}{y}$ работы в час.

Согласно первому условию, двое рабочих, работая вместе, могут выполнить задание за 9 часов. Их совместная производительность равна сумме их индивидуальных производительностей: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$. За 9 часов они выполняют всю работу, что можно записать в виде уравнения:

$9 \cdot (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = 1$

Отсюда получаем первое уравнение системы:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{9}$

Согласно второму условию, если первый рабочий проработает 1 час 12 минут, а затем второй — 2 часа, то будет выполнено 20% задания. Переведем время работы первого рабочего в часы: 1 час 12 минут = $1 + \frac{12}{60}$ часа = $1 + \frac{1}{5}$ часа = $1.2$ часа. Объем выполненной работы составляет 20%, что равно $0.2$ или $\frac{1}{5}$ от всей работы.

Работа, выполненная первым рабочим за 1.2 часа, равна $1.2 \cdot \frac{1}{x}$. Работа, выполненная вторым рабочим за 2 часа, равна $2 \cdot \frac{1}{y}$. Суммарно они выполнили $\frac{1}{5}$ всей работы. Получаем второе уравнение системы:

$\frac{1.2}{x} + \frac{2}{y} = \frac{1}{5}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{9} \\ \frac{1.2}{x} + \frac{2}{y} = \frac{1}{5} \end{cases}$

Для удобства решения введем новые переменные. Пусть $u = \frac{1}{x}$ и $v = \frac{1}{y}$. Система примет вид:

$\begin{cases} u + v = \frac{1}{9} \\ 1.2u + 2v = \frac{1}{5} \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $v$ через $u$:

$v = \frac{1}{9} - u$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$1.2u + 2(\frac{1}{9} - u) = \frac{1}{5}$

$1.2u + \frac{2}{9} - 2u = \frac{1}{5}$

$-0.8u = \frac{1}{5} - \frac{2}{9}$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю 45:

$-0.8u = \frac{9}{45} - \frac{10}{45}$

$-0.8u = -\frac{1}{45}$

$0.8u = \frac{1}{45}$

Представим $0.8$ в виде обыкновенной дроби $\frac{4}{5}$:

$\frac{4}{5}u = \frac{1}{45}$

$u = \frac{1}{45} \cdot \frac{5}{4} = \frac{5}{180} = \frac{1}{36}$

Теперь найдем $v$, подставив значение $u$ в выражение для $v$:

$v = \frac{1}{9} - u = \frac{1}{9} - \frac{1}{36} = \frac{4}{36} - \frac{1}{36} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$

Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:

$u = \frac{1}{x} \implies \frac{1}{36} = \frac{1}{x} \implies x = 36$

$v = \frac{1}{y} \implies \frac{1}{12} = \frac{1}{y} \implies y = 12$

Таким образом, первому рабочему для выполнения всей работы потребуется 36 часов, а второму — 12 часов.

Ответ: первый рабочий может выполнить задание за 36 часов, а второй — за 12 часов.