Номер 995, страница 277 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

995. Из городов $A$ и $B$, расстояние между которыми равно $180 \text{ км}$, выехали одновременно навстречу друг другу автобус и грузовик. После их встречи автобус, выехавший из города $A$, прибыл в город $B$ через $1 \text{ ч}$, а грузовик прибыл в город $A$ через $2 \text{ ч } 15 \text{ мин}$. Найдите скорость каждого из них.

Пусть $v_a$ — скорость автобуса в км/ч, а $v_g$ — скорость грузовика в км/ч. Пусть $t$ — время в часах, через которое они встретились после выезда. Место встречи обозначим точкой C.

Расстояние, которое проехал автобус от города А до точки встречи C, равно $S_{AC} = v_a \cdot t$.

Расстояние, которое проехал грузовик от города B до точки встречи C, равно $S_{BC} = v_g \cdot t$.

Общее расстояние между городами А и В равно 180 км, следовательно:$S_{AC} + S_{BC} = 180$$(v_a + v_g) \cdot t = 180$

После встречи автобусу осталось проехать расстояние $S_{BC}$ до города В. По условию, он затратил на это 1 час. Значит:$S_{BC} = v_a \cdot 1 = v_a$

Грузовику после встречи осталось проехать расстояние $S_{AC}$ до города А. По условию, он затратил на это 2 часа 15 минут. Переведем это время в часы:$2 \text{ ч } 15 \text{ мин} = 2 + \frac{15}{60} = 2 + \frac{1}{4} = 2.25$ ч.Значит:$S_{AC} = v_g \cdot 2.25$

Теперь у нас есть система выражений. Из уравнений для пути до встречи $S_{AC} = v_a \cdot t$ и $S_{BC} = v_g \cdot t$ можно выразить время $t$:$t = \frac{S_{AC}}{v_a}$ и $t = \frac{S_{BC}}{v_g}$

Приравняем эти выражения для $t$:$\frac{S_{AC}}{v_a} = \frac{S_{BC}}{v_g}$

Теперь подставим в это равенство выражения для $S_{AC}$ и $S_{BC}$, полученные из данных о движении после встречи:$\frac{v_g \cdot 2.25}{v_a} = \frac{v_a}{v_g}$

Умножим обе части на $v_a \cdot v_g$, чтобы избавиться от дробей:$2.25 \cdot v_g^2 = v_a^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей (скорости — величины положительные):$v_a = \sqrt{2.25} \cdot v_g$$v_a = 1.5 \cdot v_g$

Это означает, что скорость автобуса в 1.5 раза больше скорости грузовика.

Теперь воспользуемся уравнением для полного расстояния:$S_{AC} + S_{BC} = 180$Подставим сюда выражения для $S_{AC}$ и $S_{BC}$ через скорости:$(v_g \cdot 2.25) + (v_a \cdot 1) = 180$

Заменим $v_a$ на $1.5 \cdot v_g$:$2.25 v_g + 1.5 v_g = 180$$3.75 v_g = 180$

Теперь найдем скорость грузовика $v_g$:$v_g = \frac{180}{3.75} = \frac{180}{15/4} = 180 \cdot \frac{4}{15} = 12 \cdot 4 = 48$ км/ч.

Наконец, найдем скорость автобуса $v_a$:$v_a = 1.5 \cdot v_g = 1.5 \cdot 48 = 72$ км/ч.

Ответ: скорость автобуса — 72 км/ч, скорость грузовика — 48 км/ч.