Номер 988, страница 276 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

988. Диагональ прямоугольника равна 17 см, а его площадь – $120 \text{ см}^2$. Найдите стороны прямоугольника.

Пусть стороны прямоугольника равны a и b сантиметров.

По условию задачи, площадь прямоугольника равна 120 см². Площадь прямоугольника вычисляется как произведение его сторон. Следовательно, мы можем составить первое уравнение:

$a \cdot b = 120$

Также по условию, диагональ прямоугольника равна 17 см. Диагональ, вместе с двумя сторонами прямоугольника, образует прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы (диагонали) равен сумме квадратов катетов (сторон). Отсюда получаем второе уравнение:

$a^2 + b^2 = 17^2$

$a^2 + b^2 = 289$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} a \cdot b = 120 \\ a^2 + b^2 = 289 \end{cases}$

Для решения этой системы можно использовать следующую алгебраическую формулу: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Преобразуем ее: $(a+b)^2 = (a^2+b^2) + 2(ab)$.

Подставим известные значения из нашей системы:

$(a+b)^2 = 289 + 2 \cdot 120$

$(a+b)^2 = 289 + 240$

$(a+b)^2 = 529$

Извлечем квадратный корень. Так как a и b — это длины сторон, их сумма должна быть положительной:

$a+b = \sqrt{529} = 23$

Теперь мы имеем новую, более простую систему уравнений:

$\begin{cases} a + b = 23 \\ a \cdot b = 120 \end{cases}$

Согласно обратной теореме Виета, a и b являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (a+b)t + ab = 0$. Подставим наши значения:

$t^2 - 23t + 120 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-23)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 120 = 529 - 480 = 49$

Найдем корни уравнения:

$t_1 = \frac{-(-23) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{23 - 7}{2} = \frac{16}{2} = 8$

$t_2 = \frac{-(-23) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{23 + 7}{2} = \frac{30}{2} = 15$

Таким образом, стороны прямоугольника равны 8 см и 15 см.

Ответ: стороны прямоугольника равны 8 см и 15 см.