Номер 983, страница 275 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

983. Решите графически систему уравнений:

1) $\begin{cases} y - x^2 = 3, \\ x + y = 5; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x - y = 7, \\ xy = -12; \end{cases}$

3) $\begin{cases} y = x^2 - 4, \\ y = -x^2 + 4x - 4; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ y = x^2 - 5. \end{cases}$

1) Для решения системы уравнений $ \begin{cases} y - x^2 = 3, \\ x + y = 5; \end{cases} $ графическим методом, построим графики каждого уравнения в одной системе координат.

Первое уравнение, $y - x^2 = 3$, преобразуем к виду $y = x^2 + 3$. Это уравнение параболы, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0, 3)$. Для построения можно найти несколько точек, например, $(1, 4)$ и $(-1, 4)$, $(2, 7)$ и $(-2, 7)$.

Второе уравнение, $x + y = 5$, преобразуем к виду $y = -x + 5$. Это уравнение прямой линии. Для её построения достаточно двух точек, например, точки пересечения с осями координат: $(0, 5)$ и $(5, 0)$.

Построив оба графика, находим их точки пересечения. Координаты этих точек и являются решением системы. Графики пересекаются в двух точках. Ответ: $(-2, 7), (1, 4)$.

2) Для решения системы $ \begin{cases} x - y = 7, \\ xy = -12; \end{cases} $ построим графики функций.

Первое уравнение $x - y = 7$ можно представить в виде $y = x - 7$. Это прямая линия, которую можно построить по двум точкам, например, $(7, 0)$ и $(3, -4)$.

Второе уравнение $xy = -12$ представим как $y = -12/x$. Это гипербола, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат. Для построения можно взять точки $(3, -4)$, $(4, -3)$, $(-3, 4)$, $(-4, 3)$.

Решениями системы являются координаты точек пересечения прямой и гиперболы. Из графиков видно, что это точки с координатами $(3, -4)$ и $(4, -3)$. Ответ: $(3, -4), (4, -3)$.

3) Рассмотрим систему $ \begin{cases} y = x^2 - 4, \\ y = -x^2 + 4x - 4; \end{cases} $. Для её решения построим графики двух парабол.

Первый график — парабола $y = x^2 - 4$. Это стандартная парабола $y=x^2$, смещенная на 4 единицы вниз. Её вершина находится в точке $(0, -4)$, а ветви направлены вверх.

Второй график — парабола $y = -x^2 + 4x - 4$. Выделим полный квадрат: $y = -(x^2 - 4x + 4) = -(x-2)^2$. Это стандартная парабола $y=-x^2$, смещенная на 2 единицы вправо. Её вершина находится в точке $(2, 0)$, а ветви направлены вниз.

Находим точки пересечения парабол. Их координаты будут решением системы. Графики пересекаются в двух точках. Ответ: $(0, -4), (2, 0)$.

4) Решим графически систему $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ y = x^2 - 5. \end{cases} $.

Первое уравнение $x^2 + y^2 = 25$ — это уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{25} = 5$.

Второе уравнение $y = x^2 - 5$ — это парабола, полученная сдвигом параболы $y=x^2$ на 5 единиц вниз по оси $y$. Её вершина находится в точке $(0, -5)$, а ветви направлены вверх.

Решением системы являются координаты точек пересечения окружности и параболы. Построив графики, мы видим, что они пересекаются в трех точках. Ответ: $(-3, 4), (3, 4), (0, -5)$.