Номер 981, страница 275 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

981. При каких значениях a имеет два различных корня уравнение:

1) $2x^2 + ax + a - 2 = 0;$

2) $(2a - 1)x^2 + (a - 3)x + 1 = 0;$

3) $ax^2 - (3a + 1)x + a = 0?$

1) Уравнение $2x^2 + ax + a - 2 = 0$ является квадратным, так как коэффициент при $x^2$ равен 2 и не равен нулю. Квадратное уравнение имеет два различных корня, когда его дискриминант $D$ строго больше нуля. Найдем дискриминант данного уравнения. Коэффициенты: $A=2$, $B=a$, $C=a-2$.
$D = B^2 - 4AC = a^2 - 4 \cdot 2 \cdot (a - 2) = a^2 - 8(a - 2) = a^2 - 8a + 16$.
Решим неравенство $D > 0$:
$a^2 - 8a + 16 > 0$.
Левая часть неравенства является полным квадратом:
$(a - 4)^2 > 0$.
Квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть $(a - 4)^2 \ge 0$. Равенство нулю достигается при $a - 4 = 0$, то есть при $a = 4$. Следовательно, неравенство $(a - 4)^2 > 0$ выполняется для всех значений $a$, кроме $a = 4$.

Ответ: $a \in (-\infty, 4) \cup (4, +\infty)$.

2) Рассмотрим уравнение $(2a - 1)x^2 + (a - 3)x + 1 = 0$.
Сначала проверим случай, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю, то есть $2a - 1 = 0$, что дает $a = 1/2$. При $a = 1/2$ уравнение принимает вид:
$(2 \cdot \frac{1}{2} - 1)x^2 + (\frac{1}{2} - 3)x + 1 = 0$
$0 \cdot x^2 - \frac{5}{2}x + 1 = 0$
$-\frac{5}{2}x = -1$, откуда $x = \frac{2}{5}$.
В этом случае уравнение является линейным и имеет только один корень, что не удовлетворяет условию задачи. Значит, $a \neq 1/2$.
При $a \neq 1/2$ уравнение является квадратным. Оно имеет два различных корня, если его дискриминант $D > 0$. Коэффициенты: $A = 2a - 1$, $B = a - 3$, $C = 1$.
$D = B^2 - 4AC = (a - 3)^2 - 4(2a - 1) \cdot 1 = (a^2 - 6a + 9) - (8a - 4) = a^2 - 14a + 13$.
Решим неравенство $D > 0$:
$a^2 - 14a + 13 > 0$.
Найдем корни квадратного трехчлена $a^2 - 14a + 13 = 0$. По теореме Виета, корни равны $a_1 = 1$ и $a_2 = 13$. Парабола $y = a^2 - 14a + 13$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство выполняется для значений $a$, находящихся вне интервала между корнями: $a < 1$ или $a > 13$.
Объединим это решение с условием $a \neq 1/2$. Так как $1/2 < 1$, значение $a = 1/2$ нужно исключить из интервала $(-\infty, 1)$.

Ответ: $a \in (-\infty, 1/2) \cup (1/2, 1) \cup (13, +\infty)$.

3) Рассмотрим уравнение $ax^2 - (3a + 1)x + a = 0$.
Сначала проверим случай, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю, то есть $a = 0$. При $a = 0$ уравнение принимает вид:
$0 \cdot x^2 - (3 \cdot 0 + 1)x + 0 = 0$
$-x = 0$, откуда $x = 0$.
В этом случае уравнение является линейным и имеет только один корень, что не удовлетворяет условию. Значит, $a \neq 0$.
При $a \neq 0$ уравнение является квадратным. Оно имеет два различных корня, если его дискриминант $D > 0$. Коэффициенты: $A = a$, $B = -(3a + 1)$, $C = a$.
$D = B^2 - 4AC = (-(3a + 1))^2 - 4 \cdot a \cdot a = (3a + 1)^2 - 4a^2 = (9a^2 + 6a + 1) - 4a^2 = 5a^2 + 6a + 1$.
Решим неравенство $D > 0$:
$5a^2 + 6a + 1 > 0$.
Найдем корни квадратного трехчлена $5a^2 + 6a + 1 = 0$ с помощью формулы корней:
$a = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1}}{2 \cdot 5} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 20}}{10} = \frac{-6 \pm \sqrt{16}}{10} = \frac{-6 \pm 4}{10}$.
Корни: $a_1 = \frac{-6 - 4}{10} = -1$ и $a_2 = \frac{-6 + 4}{10} = -\frac{2}{10} = -1/5$.
Парабола $y = 5a^2 + 6a + 1$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство выполняется для $a < -1$ или $a > -1/5$.
Учитывая условие $a \neq 0$, нужно исключить точку $a=0$ из интервала $(-1/5, +\infty)$.

Ответ: $a \in (-\infty, -1) \cup (-1/5, 0) \cup (0, +\infty)$.