Номер 984, страница 276 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

984. Решите систему уравнений:

1) $ \begin{cases} x - 4y = -6, \\ x^2 + 4y^2 = 8; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 3x + y = -2, \\ 3x^2 - 2xy = 28; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} x + 2y = 13, \\ xy = 15; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} 3x - 2y = 18, \\ xy = -12; \end{cases} $

5) $ \begin{cases} x^2 - y^2 = 21, \\ x + y = -3; \end{cases} $

6) $ \begin{cases} x^2 - xy + y^2 = 7, \\ x - y = 1; \end{cases} $

7) $ \begin{cases} (x - 1)(y - 1) = -2, \\ x + y = 1; \end{cases} $

8) $ \begin{cases} (x - 2)(y + 1) = 1, \\ x - y = 3; \end{cases} $

9) $ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{8}, \\ x + y = 12; \end{cases} $

10) $ \begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{4}{5}, \\ y - x = 4. \end{cases} $

1) $\begin{cases} x - 4y = -6 \\ x^2 + 4y^2 = 8 \end{cases}$
Из первого уравнения выразим $x$: $x = 4y - 6$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$(4y - 6)^2 + 4y^2 = 8$
$16y^2 - 48y + 36 + 4y^2 = 8$
$20y^2 - 48y + 28 = 0$
Разделим уравнение на 4:
$5y^2 - 12y + 7 = 0$
Решим квадратное уравнение относительно $y$. Дискриминант $D = (-12)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 7 = 144 - 140 = 4$.
$y_1 = \frac{12 + \sqrt{4}}{2 \cdot 5} = \frac{12 + 2}{10} = \frac{14}{10} = 1,4$
$y_2 = \frac{12 - \sqrt{4}}{2 \cdot 5} = \frac{12 - 2}{10} = \frac{10}{10} = 1$
Теперь найдем соответствующие значения $x$:
При $y_1 = 1,4$: $x_1 = 4(1,4) - 6 = 5,6 - 6 = -0,4$
При $y_2 = 1$: $x_2 = 4(1) - 6 = 4 - 6 = -2$
Ответ: $(-0,4; 1,4)$, $(-2; 1)$.

2) $\begin{cases} 3x + y = -2 \\ 3x^2 - 2xy = 28 \end{cases}$
Из первого уравнения выразим $y$: $y = -2 - 3x$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$3x^2 - 2x(-2 - 3x) = 28$
$3x^2 + 4x + 6x^2 = 28$
$9x^2 + 4x - 28 = 0$
Решим квадратное уравнение относительно $x$. Дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-28) = 16 + 1008 = 1024 = 32^2$.
$x_1 = \frac{-4 + 32}{2 \cdot 9} = \frac{28}{18} = \frac{14}{9}$
$x_2 = \frac{-4 - 32}{2 \cdot 9} = \frac{-36}{18} = -2$
Теперь найдем соответствующие значения $y$:
При $x_1 = \frac{14}{9}$: $y_1 = -2 - 3 \cdot \frac{14}{9} = -2 - \frac{14}{3} = -\frac{6}{3} - \frac{14}{3} = -\frac{20}{3}$
При $x_2 = -2$: $y_2 = -2 - 3(-2) = -2 + 6 = 4$
Ответ: $(\frac{14}{9}; -\frac{20}{3})$, $(-2; 4)$.

3) $\begin{cases} x + 2y = 13 \\ xy = 15 \end{cases}$
Из первого уравнения выразим $x$: $x = 13 - 2y$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$(13 - 2y)y = 15$
$13y - 2y^2 = 15$
$2y^2 - 13y + 15 = 0$
Решим квадратное уравнение относительно $y$. Дискриминант $D = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 15 = 169 - 120 = 49 = 7^2$.
$y_1 = \frac{13 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{20}{4} = 5$
$y_2 = \frac{13 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1,5$
Теперь найдем соответствующие значения $x$:
При $y_1 = 5$: $x_1 = 13 - 2(5) = 13 - 10 = 3$
При $y_2 = 1,5$: $x_2 = 13 - 2(1,5) = 13 - 3 = 10$
Ответ: $(3; 5)$, $(10; 1,5)$.

4) $\begin{cases} 3x - 2y = 18 \\ xy = -12 \end{cases}$
Из второго уравнения выразим $y$ (при $x \neq 0$): $y = -12/x$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$3x - 2(-\frac{12}{x}) = 18$
$3x + \frac{24}{x} = 18$
Умножим обе части на $x$:
$3x^2 + 24 = 18x$
$3x^2 - 18x + 24 = 0$
Разделим уравнение на 3:
$x^2 - 6x + 8 = 0$
По теореме Виета корни $x_1 = 2, x_2 = 4$.
Найдем соответствующие значения $y$:
При $x_1 = 2$: $y_1 = -12/2 = -6$
При $x_2 = 4$: $y_2 = -12/4 = -3$
Ответ: $(2; -6)$, $(4; -3)$.

5) $\begin{cases} x^2 - y^2 = 21 \\ x + y = -3 \end{cases}$
Разложим первое уравнение по формуле разности квадратов: $(x-y)(x+y) = 21$.
Подставим во второе уравнение $x+y = -3$:
$(x-y)(-3) = 21$
$x-y = -7$
Теперь у нас есть система линейных уравнений:
$\begin{cases} x + y = -3 \\ x - y = -7 \end{cases}$
Сложим два уравнения: $(x+y) + (x-y) = -3 + (-7)$, что дает $2x = -10$, откуда $x = -5$.
Подставим $x=-5$ в $x+y=-3$: $-5 + y = -3$, откуда $y = 2$.
Ответ: $(-5; 2)$.

6) $\begin{cases} x^2 - xy + y^2 = 7 \\ x - y = 1 \end{cases}$
Из второго уравнения выразим $x$: $x = y+1$.
Подставим в первое уравнение:
$(y+1)^2 - (y+1)y + y^2 = 7$
$(y^2 + 2y + 1) - (y^2 + y) + y^2 = 7$
$y^2 + 2y + 1 - y^2 - y + y^2 = 7$
$y^2 + y - 6 = 0$
По теореме Виета корни $y_1 = 2, y_2 = -3$.
Найдем соответствующие значения $x$:
При $y_1 = 2$: $x_1 = 2+1 = 3$
При $y_2 = -3$: $x_2 = -3+1 = -2$
Ответ: $(3; 2)$, $(-2; -3)$.

7) $\begin{cases} (x - 1)(y - 1) = -2 \\ x + y = 1 \end{cases}$
Раскроем скобки в первом уравнении: $xy - x - y + 1 = -2$.
Сгруппируем: $xy - (x+y) + 1 = -2$.
Из второго уравнения знаем, что $x+y=1$. Подставим это значение:
$xy - 1 + 1 = -2$, откуда $xy = -2$.
Получили новую систему:
$\begin{cases} x + y = 1 \\ xy = -2 \end{cases}$
Согласно обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - t - 2 = 0$.
Корни этого уравнения: $t_1 = 2, t_2 = -1$.
Следовательно, решения системы — это пары $(2; -1)$ и $(-1; 2)$.
Ответ: $(2; -1)$, $(-1; 2)$.

8) $\begin{cases} (x - 2)(y + 1) = 1 \\ x - y = 3 \end{cases}$
Из второго уравнения выразим $x$: $x = y+3$.
Подставим в первое уравнение:
$((y+3) - 2)(y+1) = 1$
$(y+1)(y+1) = 1$
$(y+1)^2 = 1$
Извлекаем квадратный корень: $y+1 = 1$ или $y+1 = -1$.
Если $y+1=1$, то $y_1=0$. Тогда $x_1 = 0+3=3$.
Если $y+1=-1$, то $y_2=-2$. Тогда $x_2 = -2+3=1$.
Ответ: $(3; 0)$, $(1; -2)$.

9) $\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{8} \\ x + y = 12 \end{cases}$
Приведем первое уравнение к общему знаменателю: $\frac{y+x}{xy} = \frac{3}{8}$.
Из второго уравнения известно, что $x+y=12$. Подставим это в преобразованное первое уравнение:
$\frac{12}{xy} = \frac{3}{8}$
$12 \cdot 8 = 3 \cdot xy$
$96 = 3xy$
$xy = 32$
Получили новую систему:
$\begin{cases} x + y = 12 \\ xy = 32 \end{cases}$
Согласно обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями уравнения $t^2 - 12t + 32 = 0$.
Корни этого уравнения: $t_1 = 4, t_2 = 8$.
Следовательно, решения системы — это пары $(4; 8)$ и $(8; 4)$.
Ответ: $(4; 8)$, $(8; 4)$.

10) $\begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{4}{5} \\ y - x = 4 \end{cases}$
Приведем первое уравнение к общему знаменателю: $\frac{y-x}{xy} = \frac{4}{5}$.
Из второго уравнения известно, что $y-x=4$. Подставим это в первое уравнение:
$\frac{4}{xy} = \frac{4}{5}$
Отсюда следует, что $xy=5$.
Получили новую систему:
$\begin{cases} y - x = 4 \\ xy = 5 \end{cases}$
Из первого уравнения выразим $y$: $y = x+4$.
Подставим во второе уравнение: $x(x+4) = 5$.
$x^2 + 4x - 5 = 0$.
Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = 1, x_2 = -5$.
Найдем соответствующие значения $y$:
При $x_1 = 1$: $y_1 = 1+4=5$.
При $x_2 = -5$: $y_2 = -5+4=-1$.
Ответ: $(1; 5)$, $(-5; -1)$.