Номер 980, страница 275 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса алгебры 9 класса - номер 980, страница 275.

Условия.

980. Найдите область определения функции:

1) $y = \frac{4}{\sqrt{x^2 + 3x - 10}} + \frac{1}{3x - 9}$;

2) $y = \frac{6}{\sqrt{12 + x - x^2}} - \frac{2}{x^2 - 4}$;

3) $y = \sqrt{49 - x^2} + \frac{1}{\sqrt{x^2 + 3x - 4}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $y = \frac{4}{\sqrt{x^2 + 3x - 10}} + \frac{1}{3x - 9}$

Область определения функции (ОДЗ) — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Для данной функции необходимо выполнение двух условий одновременно:

1. Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго больше нуля: $x^2 + 3x - 10 > 0$.

2. Знаменатель второй дроби не должен быть равен нулю: $3x - 9 \neq 0$.

Решим эти условия в виде системы:

$\begin{cases} x^2 + 3x - 10 > 0 \\ 3x - 9 \neq 0 \end{cases}$

Решаем первое неравенство $x^2 + 3x - 10 > 0$.
Сначала найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 3x - 10 = 0$.
Используем теорему Виета: сумма корней равна -3, произведение равно -10. Корни: $x_1 = -5$ и $x_2 = 2$.
Либо через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$.
$x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{-3 \pm 7}{2}$.
$x_1 = \frac{-3 - 7}{2} = -5$, $x_2 = \frac{-3 + 7}{2} = 2$.
Парабола $y = x^2 + 3x - 10$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $x^2 + 3x - 10 > 0$ выполняется вне интервала между корнями.
Решение: $x \in (-\infty; -5) \cup (2; +\infty)$.

Решаем второе условие $3x - 9 \neq 0$.
$3x \neq 9$
$x \neq 3$.

Теперь найдем пересечение полученных множеств. Мы должны исключить точку $x = 3$ из множества $(-\infty; -5) \cup (2; +\infty)$.
Точка $3$ находится в интервале $(2; +\infty)$, поэтому этот интервал разбивается на два: $(2; 3)$ и $(3; +\infty)$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; -5) \cup (2; 3) \cup (3; +\infty)$.

---

2) $y = \frac{6}{\sqrt{12 + x - x^2}} - \frac{2}{x^2 - 4}$

Область определения функции находится из системы условий:

1. Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго больше нуля: $12 + x - x^2 > 0$.

2. Знаменатель второй дроби не должен быть равен нулю: $x^2 - 4 \neq 0$.

Решим систему:

$\begin{cases} 12 + x - x^2 > 0 \\ x^2 - 4 \neq 0 \end{cases}$

Решаем первое неравенство $12 + x - x^2 > 0$.
Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства: $x^2 - x - 12 < 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - x - 12 = 0$.
По теореме Виета: сумма корней равна 1, произведение равно -12. Корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = 4$.
Парабола $y = x^2 - x - 12$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $x^2 - x - 12 < 0$ выполняется на интервале между корнями.
Решение: $x \in (-3; 4)$.

Решаем второе условие $x^2 - 4 \neq 0$.
$(x-2)(x+2) \neq 0$
$x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Теперь найдем пересечение множеств: $x \in (-3; 4)$ и $x \neq \pm 2$.
Обе точки, $x = -2$ и $x = 2$, находятся внутри интервала $(-3; 4)$, поэтому мы должны их исключить ("выколоть").

Ответ: $D(y) = (-3; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; 4)$.

---

3) $y = \sqrt{49 - x^2} + \frac{1}{\sqrt{x^2 + 3x - 4}}$

Область определения функции находится из системы условий:

1. Выражение под первым корнем должно быть неотрицательным: $49 - x^2 \ge 0$.

2. Выражение под вторым корнем (в знаменателе) должно быть строго положительным: $x^2 + 3x - 4 > 0$.

Решим систему:

$\begin{cases} 49 - x^2 \ge 0 \\ x^2 + 3x - 4 > 0 \end{cases}$

Решаем первое неравенство $49 - x^2 \ge 0$.
$x^2 \le 49$
$|x| \le 7$
Решение: $x \in [-7; 7]$.

Решаем второе неравенство $x^2 + 3x - 4 > 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + 3x - 4 = 0$.
По теореме Виета: сумма корней равна -3, произведение равно -4. Корни: $x_1 = -4$ и $x_2 = 1$.
Парабола $y = x^2 + 3x - 4$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $x^2 + 3x - 4 > 0$ выполняется вне интервала между корнями.
Решение: $x \in (-\infty; -4) \cup (1; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение полученных решений: $x \in [-7; 7]$ и $x \in (-\infty; -4) \cup (1; +\infty)$.
Пересечение $[-7; 7]$ с $(-\infty; -4)$ дает промежуток $[-7; -4)$.
Пересечение $[-7; 7]$ с $(1; +\infty)$ дает промежуток $(1; 7]$.
Объединим эти два промежутка.

Ответ: $D(y) = [-7; -4) \cup (1; 7]$.