Номер 979, страница 275 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

979. Решите неравенство:

1) $\frac{x^2 - 16}{|x + 1|} \le 0;$

2) $\frac{x^2 - 5x - 14}{|x - 8|} \ge 0.$

1) Решим неравенство $\frac{x^2 - 16}{|x + 1|} \le 0$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $|x + 1| \ne 0$, что означает $x + 1 \ne 0$ и, следовательно, $x \ne -1$.

Выражение в знаменателе $|x + 1|$ (модуль) является неотрицательным для любого значения $x$. Так как мы уже исключили $x = -1$, знаменатель $|x + 1|$ всегда строго больше нуля для всех $x$ из ОДЗ.

Поскольку знаменатель дроби всегда положителен, знак всей дроби зависит только от знака числителя. Таким образом, исходное неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - 16 \le 0, \\ x \ne -1. \end{cases}$

Решим первое неравенство $x^2 - 16 \le 0$. Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов: $(x - 4)(x + 4) \le 0$.

Найдем корни уравнения $(x - 4)(x + 4) = 0$. Корни: $x_1 = -4$ и $x_2 = 4$.

Графиком функции $y=x^2-16$ является парабола с ветвями вверх. Следовательно, неравенство $x^2 - 16 \le 0$ выполняется между корнями (включая сами корни). Решением этого неравенства является промежуток $x \in [-4, 4]$.

Теперь учтем условие $x \ne -1$. Точка $x = -1$ находится внутри промежутка $[-4, 4]$, поэтому ее необходимо исключить. Объединяя результаты, получаем решение исходного неравенства.

Ответ: $x \in [-4, -1) \cup (-1, 4]$.

2) Решим неравенство $\frac{x^2 - 5x - 14}{|x - 8|} \ge 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен равняться нулю, то есть $|x - 8| \ne 0$, откуда $x \ne 8$.

Знаменатель $|x - 8|$ всегда положителен при всех $x$ из ОДЗ ($x \ne 8$).

Поскольку знаменатель дроби положителен, знак дроби определяется знаком числителя. Следовательно, неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - 5x - 14 \ge 0, \\ x \ne 8. \end{cases}$

Решим квадратное неравенство $x^2 - 5x - 14 \ge 0$. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 5x - 14 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81 = 9^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{5 - 9}{2} = -2$ и $x_2 = \frac{5 + 9}{2} = 7$.

Графиком функции $y = x^2 - 5x - 14$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $x^2 - 5x - 14 \ge 0$ выполняется на промежутках вне корней, включая сами корни. Таким образом, решение этого неравенства: $x \in (-\infty, -2] \cup [7, \infty)$.

Теперь учтем ограничение из ОДЗ: $x \ne 8$. Число 8 входит в промежуток $[7, \infty)$, поэтому мы должны исключить эту точку. Разбиваем промежуток $[7, \infty)$ на два: $[7, 8)$ и $(8, \infty)$.

Объединяя все, получаем окончательное решение.

Ответ: $x \in (-\infty, -2] \cup [7, 8) \cup (8, \infty)$.