Номер 975, страница 274 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

975. При каком значении $a$ сумма квадратов корней уравнения $x^2 + ax + a - 2 = 0$ будет принимать наименьшее значение?

975.

Дано квадратное уравнение $x^2 + ax + a - 2 = 0$.

Для того чтобы уравнение имело действительные корни, его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$). Коэффициенты уравнения: $A=1$, $B=a$, $C=a-2$.

Вычислим дискриминант:

$D = B^2 - 4AC = a^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a - 2) = a^2 - 4a + 8$.

Рассмотрим выражение для дискриминанта как квадратичную функцию от $a$: $f(a) = a^2 - 4a + 8$. Графиком этой функции является парабола с ветвями, направленными вверх. Ее наименьшее значение находится в вершине. Абсцисса вершины $a_v = -(-4)/(2 \cdot 1) = 2$. Минимальное значение дискриминанта: $f(2) = 2^2 - 4(2) + 8 = 4 - 8 + 8 = 4$.

Поскольку минимальное значение дискриминанта равно 4, то $D > 0$ при любом значении $a$. Это означает, что уравнение всегда имеет два различных действительных корня.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни данного уравнения. По теореме Виета:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -a$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = a - 2$

Нам необходимо найти наименьшее значение суммы квадратов корней, то есть $x_1^2 + x_2^2$. Выразим эту сумму через сумму и произведение корней:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Подставим выражения из теоремы Виета в полученную формулу:

$x_1^2 + x_2^2 = (-a)^2 - 2(a - 2) = a^2 - 2a + 4$.

Теперь задача сводится к нахождению значения $a$, при котором функция $S(a) = a^2 - 2a + 4$ принимает наименьшее значение.

Функция $S(a)$ — это квадратичная функция, графиком которой является парабола с ветвями вверх. Свое наименьшее значение она принимает в вершине. Абсцисса вершины параболы $y = kx^2 + lx + m$ находится по формуле $x_v = -l/(2k)$. Для нашей функции $S(a)$ коэффициенты равны $k=1$ и $l=-2$.

Найдем значение $a$ в вершине:

$a_{вершина} = -(-2) / (2 \cdot 1) = 2 / 2 = 1$.

Следовательно, сумма квадратов корней уравнения принимает наименьшее значение при $a=1$.

Ответ: 1.