Страница 274 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

968. При каком значении c график функции $y = x^2 - 6x + c$:

1) проходит через начало координат;

2) имеет с осью абсцисс только одну общую точку;

3) пересекает ось ординат в точке $A(0; -4)$;

4) пересекает ось абсцисс в точке $B(2; 0)?$

Дан график функции $y = x^2 - 6x + c$. Нам нужно найти значение параметра $c$ для каждого из четырех условий.

1) проходит через начало координат;

График функции проходит через начало координат, то есть через точку с координатами $(0; 0)$, если эти координаты удовлетворяют уравнению функции. Подставим значения $x=0$ и $y=0$ в уравнение $y = x^2 - 6x + c$:

$0 = 0^2 - 6 \cdot 0 + c$

$0 = 0 - 0 + c$

$c = 0$

Таким образом, при $c=0$ график функции проходит через начало координат.

Ответ: $c = 0$.

2) имеет с осью абсцисс только одну общую точку;

График квадратичной функции (парабола) имеет с осью абсцисс (осью Ox) только одну общую точку, если соответствующее квадратное уравнение $x^2 - 6x + c = 0$ имеет ровно один корень. Это условие выполняется, когда дискриминант $D$ уравнения равен нулю.

Формула дискриминанта для уравнения $ax^2 + bx + d = 0$ (здесь $d$ используется вместо $c$, чтобы не путать с параметром) имеет вид: $D = b^2 - 4ad$. В нашем случае, для уравнения $x^2 - 6x + c = 0$, коэффициенты равны: $a=1$, $b=-6$.

Приравняем дискриминант к нулю:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot c = 0$

$36 - 4c = 0$

$4c = 36$

$c = \frac{36}{4}$

$c = 9$

Таким образом, при $c=9$ график функции касается оси абсцисс в одной точке.

Ответ: $c = 9$.

3) пересекает ось ординат в точке А(0; -4);

Если график функции пересекает ось ординат (ось Oy) в точке A(0; -4), это означает, что данная точка принадлежит графику. Следовательно, её координаты должны удовлетворять уравнению функции. Подставим $x=0$ и $y=-4$ в уравнение $y = x^2 - 6x + c$:

$-4 = 0^2 - 6 \cdot 0 + c$

$-4 = 0 - 0 + c$

$c = -4$

Таким образом, при $c=-4$ график функции пересекает ось ординат в точке A(0; -4).

Ответ: $c = -4$.

4) пересекает ось абсцисс в точке В(2; 0)?

Если график функции пересекает ось абсцисс (ось Ox) в точке B(2; 0), это означает, что данная точка принадлежит графику. Следовательно, её координаты должны удовлетворять уравнению функции. Подставим $x=2$ и $y=0$ в уравнение $y = x^2 - 6x + c$:

$0 = 2^2 - 6 \cdot 2 + c$

$0 = 4 - 12 + c$

$0 = -8 + c$

$c = 8$

Таким образом, при $c=8$ график функции пересекает ось абсцисс в точке B(2; 0).

Ответ: $c = 8$.

969. При каком значении $b$ график функции $y = x^2 + bx + 2$:

1) имеет с осью абсцисс только одну общую точку;

2) не имеет с осью абсцисс общих точек;

3) пересекает ось абсцисс в точках, расстояние между которыми равно 4?

График функции $y = x^2 + bx + 2$ представляет собой параболу. Точки пересечения графика с осью абсцисс (осью Ox) являются точками, в которых $y = 0$. Следовательно, их абсциссы являются корнями квадратного уравнения $x^2 + bx + 2 = 0$. Количество и значения этих корней зависят от дискриминанта $D$.

Для квадратного уравнения $ax^2 + Bx + C = 0$ дискриминант вычисляется по формуле $D = B^2 - 4aC$. В нашем случае $a=1$, $B=b$, $C=2$.

$D = b^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = b^2 - 8$.

1) имеет с осью абсцисс только одну общую точку;

График функции имеет с осью абсцисс только одну общую точку в том случае, когда квадратное уравнение $x^2 + bx + 2 = 0$ имеет ровно один действительный корень. Это условие выполняется, когда дискриминант равен нулю ($D=0$).

Приравняем дискриминант к нулю и решим полученное уравнение относительно $b$:

$D = b^2 - 8 = 0$

$b^2 = 8$

$b = \pm\sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}$

Ответ: $b = 2\sqrt{2}$ или $b = -2\sqrt{2}$.

2) не имеет с осью абсцисс общих точек;

График функции не имеет общих точек с осью абсцисс, если квадратное уравнение $x^2 + bx + 2 = 0$ не имеет действительных корней. Это происходит, когда дискриминант отрицателен ($D<0$).

Решим неравенство $D < 0$ относительно $b$:

$b^2 - 8 < 0$

$b^2 < 8$

Это неравенство выполняется при $-\sqrt{8} < b < \sqrt{8}$, то есть $-2\sqrt{2} < b < 2\sqrt{2}$.

Ответ: $b \in (-2\sqrt{2}; 2\sqrt{2})$.

3) пересекает ось абсцисс в точках, расстояние между которыми равно 4?

График функции пересекает ось абсцисс в двух точках, если квадратное уравнение $x^2 + bx + 2 = 0$ имеет два различных действительных корня. Это происходит при $D > 0$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения. Они являются абсциссами точек пересечения. По условию, расстояние между этими точками равно 4, то есть $|x_2 - x_1| = 4$.

Корни квадратного уравнения находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$. В нашем случае:

$x_{1} = \frac{-b - \sqrt{b^2-8}}{2}$ и $x_{2} = \frac{-b + \sqrt{b^2-8}}{2}$.

Найдем расстояние между корнями:

$|x_2 - x_1| = \left| \frac{-b + \sqrt{b^2-8}}{2} - \frac{-b - \sqrt{b^2-8}}{2} \right| = \left| \frac{-b + \sqrt{b^2-8} + b + \sqrt{b^2-8}}{2} \right| = \left| \frac{2\sqrt{b^2-8}}{2} \right| = \sqrt{b^2-8}$.

По условию задачи это расстояние равно 4. Составим и решим уравнение:

$\sqrt{b^2 - 8} = 4$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{b^2 - 8})^2 = 4^2$

$b^2 - 8 = 16$

$b^2 = 24$

$b = \pm\sqrt{24} = \pm\sqrt{4 \cdot 6} = \pm 2\sqrt{6}$

При этих значениях $b$ дискриминант $D = b^2 - 8 = 24 - 8 = 16 > 0$, так что условие наличия двух корней выполняется.

Ответ: $b = 2\sqrt{6}$ или $b = -2\sqrt{6}$.

970. График функции $y = x^2 + px + q$ проходит через точки $A(1; 1)$ и $B(2; 2)$.

Проходит ли этот график через точку:

1) $C(-1; -1)$;
2) $D(3; 5)$?

Поскольку график функции $y = x^2 + px + q$ проходит через точки $A(1; 1)$ и $B(2; 2)$, координаты этих точек должны удовлетворять уравнению функции. Подставим их в уравнение, чтобы найти коэффициенты $p$ и $q$.

Для точки $A(1; 1)$ имеем:

$1 = 1^2 + p \cdot 1 + q$

$1 = 1 + p + q$

$p + q = 0$

Для точки $B(2; 2)$ имеем:

$2 = 2^2 + p \cdot 2 + q$

$2 = 4 + 2p + q$

$2p + q = -2$

Получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} p + q = 0 \\ 2p + q = -2 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $q$: $q = -p$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$2p + (-p) = -2$

$p = -2$

Теперь найдем $q$:

$q = -p = -(-2) = 2$

Таким образом, уравнение функции имеет вид: $y = x^2 - 2x + 2$.

Теперь проверим, проходят ли точки $C$ и $D$ через этот график.

1) C(-1; -1);

Подставим координаты точки $C(-1; -1)$ в уравнение функции $y = x^2 - 2x + 2$:

$-1 = (-1)^2 - 2(-1) + 2$

$-1 = 1 + 2 + 2$

$-1 = 5$

Полученное равенство неверно, следовательно, график функции не проходит через точку $C(-1; -1)$.

Ответ: нет, не проходит.

2) D(3; 5);

Подставим координаты точки $D(3; 5)$ в уравнение функции $y = x^2 - 2x + 2$:

$5 = 3^2 - 2(3) + 2$

$5 = 9 - 6 + 2$

$5 = 3 + 2$

$5 = 5$

Полученное равенство верно, следовательно, график функции проходит через точку $D(3; 5)$.

Ответ: да, проходит.

971. Парабола $y = ax^2 + bx + c$ проходит через точку (0; 10), а ее вершиной является точка (6; -2). Найдите коэффициенты $a$, $b$ и $c$.

Общее уравнение параболы имеет вид $y = ax^2 + bx + c$.

По условию парабола проходит через точку $(0; 10)$. Подставим координаты этой точки в уравнение, чтобы найти коэффициент $c$:

$10 = a \cdot (0)^2 + b \cdot 0 + c$

Отсюда следует, что $c = 10$.

Теперь воспользуемся информацией о вершине параболы. Уравнение параболы можно записать в вершинной форме: $y = a(x - x_0)^2 + y_0$, где $(x_0; y_0)$ — координаты вершины.

Из условия известно, что вершина параболы находится в точке $(6; -2)$. Подставим эти значения в вершинную форму:

$y = a(x - 6)^2 - 2$

Чтобы найти коэффициент $a$, используем точку $(0; 10)$, через которую проходит график. Подставим $x=0$ и $y=10$ в полученное уравнение:

$10 = a(0 - 6)^2 - 2$

$10 = a(-6)^2 - 2$

$10 = 36a - 2$

$12 = 36a$

$a = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$

Теперь мы знаем коэффициенты $a$ и $c$. Чтобы найти $b$, раскроем скобки в вершинной форме уравнения и приведем его к общему виду $y = ax^2 + bx + c$.

$y = \frac{1}{3}(x - 6)^2 - 2$

$y = \frac{1}{3}(x^2 - 12x + 36) - 2$

$y = \frac{1}{3}x^2 - \frac{12}{3}x + \frac{36}{3} - 2$

$y = \frac{1}{3}x^2 - 4x + 12 - 2$

$y = \frac{1}{3}x^2 - 4x + 10$

Сравнивая полученное уравнение с уравнением в общем виде $y = ax^2 + bx + c$, находим коэффициенты:

$a = \frac{1}{3}$, $b = -4$, $c = 10$.

Ответ: $a = \frac{1}{3}, b = -4, c = 10$.

972. Значение квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ в точке $x = -1$ равно 0, а при $x = \frac{1}{4}$ функция принимает наименьшее значение, равное $-\frac{25}{8}$. Найдите коэффициенты $a, b$ и $c$.

Нам дана квадратичная функция $y = ax^2 + bx + c$. Из условия известно, что функция принимает наименьшее значение в точке $x = \frac{1}{4}$, и это значение равно $-\frac{25}{8}$. Точка, в которой квадратичная функция достигает своего экстремума (минимума или максимума), является вершиной параболы. Таким образом, координаты вершины параболы $(x_v; y_v)$ равны $(\frac{1}{4}; -\frac{25}{8})$.

Зная координаты вершины, можно использовать вершинную (каноническую) форму записи квадратичной функции: $y = a(x - x_v)^2 + y_v$. Подставив значения $x_v$ и $y_v$, получаем:
$y = a(x - \frac{1}{4})^2 - \frac{25}{8}$

Также по условию задачи, значение функции в точке $x = -1$ равно 0. Это означает, что парабола проходит через точку с координатами $(-1; 0)$. Подставим эти значения в уравнение функции, чтобы найти коэффициент $a$:
$0 = a(-1 - \frac{1}{4})^2 - \frac{25}{8}$
$0 = a(-\frac{5}{4})^2 - \frac{25}{8}$
$0 = a(\frac{25}{16}) - \frac{25}{8}$
Перенесем числовой член в другую часть уравнения:
$\frac{25}{8} = a \cdot \frac{25}{16}$
Отсюда находим $a$:
$a = \frac{25}{8} \div \frac{25}{16} = \frac{25}{8} \cdot \frac{16}{25} = \frac{16}{8} = 2$

Теперь, зная коэффициент $a=2$, мы можем полностью определить вид функции и найти коэффициенты $b$ и $c$, приведя ее к стандартному виду $y = ax^2 + bx + c$.
$y = 2(x - \frac{1}{4})^2 - \frac{25}{8}$
Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности:
$y = 2(x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{4} + (\frac{1}{4})^2) - \frac{25}{8}$
$y = 2(x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{16}) - \frac{25}{8}$
$y = 2x^2 - x + \frac{2}{16} - \frac{25}{8}$
$y = 2x^2 - x + \frac{1}{8} - \frac{25}{8}$
$y = 2x^2 - x - \frac{24}{8}$
$y = 2x^2 - x - 3$

Сравнивая полученное уравнение со стандартной формой $y = ax^2 + bx + c$, находим искомые коэффициенты.

Ответ: $a = 2, b = -1, c = -3$.

973. При каком значении m:

1) наименьшее значение функции $y = x^2 - 6x + m$ равно $-8$;

2) наибольшее значение функции $y = -x^2 + 4x - m$ равно 12?

1)

Функция $y = x^2 - 6x + m$ является квадратичной. Ее график — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число). Следовательно, функция имеет наименьшее значение в своей вершине.

Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ для функции $y = ax^2 + bx + c$ находятся по формулам: $x_0 = -\frac{b}{2a}$, а $y_0$ является значением функции в точке $x_0$.

Для функции $y = x^2 - 6x + m$ имеем $a=1$ и $b=-6$. Найдем абсциссу вершины:

$x_0 = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$

Теперь найдем ординату вершины, которая и есть наименьшее значение функции, подставив $x_0 = 3$ в уравнение:

$y_0 = (3)^2 - 6(3) + m = 9 - 18 + m = m - 9$

По условию задачи, наименьшее значение функции равно -8. Приравниваем полученное выражение к -8 и находим $m$:

$m - 9 = -8$

$m = -8 + 9$

$m = 1$

Ответ: 1

2)

Функция $y = -x^2 + 4x - m$ также является квадратичной. Ее график — парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ равен -1 (отрицательное число). Следовательно, функция имеет наибольшее значение в своей вершине.

Для функции $y = -x^2 + 4x - m$ имеем $a=-1$ и $b=4$. Найдем абсциссу вершины:

$x_0 = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = -\frac{4}{-2} = 2$

Теперь найдем ординату вершины, которая и есть наибольшее значение функции, подставив $x_0 = 2$ в уравнение:

$y_0 = -(2)^2 + 4(2) - m = -4 + 8 - m = 4 - m$

По условию задачи, наибольшее значение функции равно 12. Приравниваем полученное выражение к 12 и находим $m$:

$4 - m = 12$

$-m = 12 - 4$

$-m = 8$

$m = -8$

Ответ: -8

974. Постройте график функции:

1) $y = \frac{x^3 + 4x^2 - 5x}{x}$;

2) $y = \frac{x^3 + 8}{x+2} - 3$;

3) $y = \frac{x^4 - 1}{x^2 - 1}$;

4) $y = \frac{x^4 - 13x^2 + 36}{x^2 - 9}$.

1) $y = \frac{x^3 + 4x^2 - 5x}{x}$

Область определения функции (ОДЗ): знаменатель не может быть равен нулю, следовательно, $x \neq 0$.

Упростим выражение, вынеся $x$ за скобки в числителе: $y = \frac{x(x^2 + 4x - 5)}{x}$.

При условии $x \neq 0$ можно сократить дробь: $y = x^2 + 4x - 5$.

Графиком данной функции является парабола $y = x^2 + 4x - 5$, у которой исключена одна точка. Это парабола с ветвями, направленными вверх. Найдем координаты вершины параболы: $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$. $y_в = (-2)^2 + 4(-2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9$. Вершина находится в точке $(-2, -9)$.

Так как $x \neq 0$, найдем ординату "выколотой" точки, подставив $x=0$ в упрощенную функцию: $y(0) = 0^2 + 4 \cdot 0 - 5 = -5$. Следовательно, точка $(0, -5)$ не принадлежит графику.

Ответ: Графиком функции является парабола $y = x^2 + 4x - 5$ с выколотой точкой $(0, -5)$.

2) $y = \frac{x^3 + 8}{x+2} - 3$

ОДЗ: $x+2 \neq 0$, следовательно, $x \neq -2$.

Упростим выражение, используя формулу суммы кубов $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ для числителя дроби: $y = \frac{(x+2)(x^2 - 2x + 4)}{x+2} - 3$.

При условии $x \neq -2$ сокращаем дробь: $y = (x^2 - 2x + 4) - 3$, $y = x^2 - 2x + 1$.

Полученное выражение можно свернуть по формуле квадрата разности: $y = (x-1)^2$. Графиком является парабола $y = (x-1)^2$ с выколотой точкой. Это стандартная парабола $y=x^2$, смещенная на 1 единицу вправо. Вершина параболы находится в точке $(1, 0)$.

Найдем координаты выколотой точки, подставив $x = -2$ в уравнение параболы: $y(-2) = (-2 - 1)^2 = (-3)^2 = 9$. Точка $(-2, 9)$ не принадлежит графику.

Ответ: Графиком функции является парабола $y = (x-1)^2$ с выколотой точкой $(-2, 9)$.

3) $y = \frac{x^4 - 1}{x^2 - 1}$

ОДЗ: $x^2 - 1 \neq 0$, то есть $(x-1)(x+1) \neq 0$. Отсюда $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Упростим выражение, разложив числитель по формуле разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$: $x^4 - 1 = (x^2)^2 - 1^2 = (x^2-1)(x^2+1)$. $y = \frac{(x^2-1)(x^2+1)}{x^2-1}$.

При $x \neq \pm 1$ сокращаем дробь: $y = x^2 + 1$.

Графиком является парабола $y = x^2+1$ с двумя выколотыми точками. Это парабола $y=x^2$, смещенная на 1 единицу вверх. Вершина находится в точке $(0, 1)$.

Найдем координаты выколотых точек: При $x = 1$: $y(1) = 1^2 + 1 = 2$. Выколотая точка $(1, 2)$. При $x = -1$: $y(-1) = (-1)^2 + 1 = 2$. Выколотая точка $(-1, 2)$.

Ответ: Графиком функции является парабола $y = x^2 + 1$ с выколотыми точками $(1, 2)$ и $(-1, 2)$.

4) $y = \frac{x^4 - 13x^2 + 36}{x^2 - 9}$

ОДЗ: $x^2 - 9 \neq 0$, то есть $(x-3)(x+3) \neq 0$. Отсюда $x \neq 3$ и $x \neq -3$.

Разложим числитель на множители. Это биквадратное уравнение. Пусть $t = x^2$, тогда $t^2 - 13t + 36 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1=4$ и $t_2=9$. Значит, $x^4 - 13x^2 + 36 = (x^2-4)(x^2-9)$. $y = \frac{(x^2-4)(x^2-9)}{x^2-9}$.

При $x \neq \pm 3$ сокращаем дробь: $y = x^2 - 4$.

Графиком является парабола $y = x^2-4$ с двумя выколотыми точками. Это парабола $y=x^2$, смещенная на 4 единицы вниз. Вершина находится в точке $(0, -4)$.

Найдем координаты выколотых точек: При $x = 3$: $y(3) = 3^2 - 4 = 9 - 4 = 5$. Выколотая точка $(3, 5)$. При $x = -3$: $y(-3) = (-3)^2 - 4 = 9 - 4 = 5$. Выколотая точка $(-3, 5)$.

Ответ: Графиком функции является парабола $y = x^2 - 4$ с выколотыми точками $(3, 5)$ и $(-3, 5)$.

975. При каком значении $a$ сумма квадратов корней уравнения $x^2 + ax + a - 2 = 0$ будет принимать наименьшее значение?

975.

Дано квадратное уравнение $x^2 + ax + a - 2 = 0$.

Для того чтобы уравнение имело действительные корни, его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$). Коэффициенты уравнения: $A=1$, $B=a$, $C=a-2$.

Вычислим дискриминант:

$D = B^2 - 4AC = a^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a - 2) = a^2 - 4a + 8$.

Рассмотрим выражение для дискриминанта как квадратичную функцию от $a$: $f(a) = a^2 - 4a + 8$. Графиком этой функции является парабола с ветвями, направленными вверх. Ее наименьшее значение находится в вершине. Абсцисса вершины $a_v = -(-4)/(2 \cdot 1) = 2$. Минимальное значение дискриминанта: $f(2) = 2^2 - 4(2) + 8 = 4 - 8 + 8 = 4$.

Поскольку минимальное значение дискриминанта равно 4, то $D > 0$ при любом значении $a$. Это означает, что уравнение всегда имеет два различных действительных корня.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни данного уравнения. По теореме Виета:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -a$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = a - 2$

Нам необходимо найти наименьшее значение суммы квадратов корней, то есть $x_1^2 + x_2^2$. Выразим эту сумму через сумму и произведение корней:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Подставим выражения из теоремы Виета в полученную формулу:

$x_1^2 + x_2^2 = (-a)^2 - 2(a - 2) = a^2 - 2a + 4$.

Теперь задача сводится к нахождению значения $a$, при котором функция $S(a) = a^2 - 2a + 4$ принимает наименьшее значение.

Функция $S(a)$ — это квадратичная функция, графиком которой является парабола с ветвями вверх. Свое наименьшее значение она принимает в вершине. Абсцисса вершины параболы $y = kx^2 + lx + m$ находится по формуле $x_v = -l/(2k)$. Для нашей функции $S(a)$ коэффициенты равны $k=1$ и $l=-2$.

Найдем значение $a$ в вершине:

$a_{вершина} = -(-2) / (2 \cdot 1) = 2 / 2 = 1$.

Следовательно, сумма квадратов корней уравнения принимает наименьшее значение при $a=1$.

Ответ: 1.

976. Решите неравенство:

1) $x^2 - 4x + 3 > 0$;

2) $x^2 - 6x - 40 \leq 0$;

3) $x^2 + x + 1 \geq 0$;

4) $x^2 - x + 1 < 0$;

5) $-3x^2 + 2x + 1 > 0$;

6) $x - x^2 < 0$;

7) $x^2 + 25x \geq 0$;

8) $0,1x^2 - 2 \leq 0$.

1) $x^2 - 4x + 3 > 0$

Для решения квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$.

Используем теорему Виета: сумма корней равна $4$, а их произведение равно $3$. Отсюда корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.

Также можно найти корни через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}$.

$x_1 = \frac{4 - 2}{2} = 1$, $x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3$.

Графиком функции $y = x^2 - 4x + 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ (равный $1$) положителен. Парабола пересекает ось Ox в точках $x=1$ и $x=3$.

Значения функции $y = x^2 - 4x + 3$ положительны на интервалах, где парабола находится выше оси Ox, то есть левее меньшего корня и правее большего корня.

Следовательно, неравенство $x^2 - 4x + 3 > 0$ выполняется при $x \in (-\infty; 1) \cup (3; \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (3; \infty)$.

2) $x^2 - 6x - 40 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 6x - 40 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 36 + 160 = 196$.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{196}}{2} = \frac{6 \pm 14}{2}$.

$x_1 = \frac{6 - 14}{2} = -4$, $x_2 = \frac{6 + 14}{2} = 10$.

Ветви параболы $y = x^2 - 6x - 40$ направлены вверх ($a=1 > 0$). Парабола пересекает ось Ox в точках $x=-4$ и $x=10$.

Нам нужно найти, где $x^2 - 6x - 40 \le 0$. Это происходит на отрезке между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решение неравенства: $x \in [-4; 10]$.

Ответ: $x \in [-4; 10]$.

3) $x^2 + x + 1 \ge 0$

Рассмотрим уравнение $x^2 + x + 1 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$.

Так как $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Коэффициент при $x^2$ равен $1$ (положительный), значит ветви параболы $y = x^2 + x + 1$ направлены вверх. Поскольку парабола не пересекает ось Ox и ее ветви направлены вверх, она вся расположена выше оси Ox.

Это означает, что выражение $x^2 + x + 1$ всегда положительно при любом значении $x$.

Следовательно, неравенство $x^2 + x + 1 \ge 0$ выполняется для всех действительных чисел.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

4) $x^2 - x + 1 < 0$

Рассмотрим уравнение $x^2 - x + 1 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$.

Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$), парабола $y = x^2 - x + 1$ полностью лежит выше оси Ox.

Это означает, что выражение $x^2 - x + 1$ всегда принимает положительные значения.

Неравенство $x^2 - x + 1 < 0$ не имеет решений, так как левая часть всегда больше нуля.

Ответ: нет решений.

5) $-3x^2 + 2x + 1 > 0$

Для удобства умножим обе части неравенства на $-1$ и изменим знак неравенства на противоположный: $3x^2 - 2x - 1 < 0$.

Найдем корни уравнения $3x^2 - 2x - 1 = 0$.

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.

$x_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 \pm 4}{6}$.

$x_1 = \frac{2 - 4}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$, $x_2 = \frac{2 + 4}{6} = 1$.

Ветви параболы $y = 3x^2 - 2x - 1$ направлены вверх ($a=3>0$). Следовательно, значения функции отрицательны между корнями.

Неравенство $3x^2 - 2x - 1 < 0$ выполняется при $x \in (-\frac{1}{3}; 1)$.

Ответ: $x \in (-\frac{1}{3}; 1)$.

6) $x - x^2 < 0$

Перепишем неравенство в стандартном виде: $-x^2 + x < 0$.

Умножим на $-1$ и сменим знак: $x^2 - x > 0$.

Разложим левую часть на множители: $x(x - 1) > 0$.

Корни уравнения $x(x-1)=0$ равны $x_1=0$ и $x_2=1$.

Ветви параболы $y = x^2 - x$ направлены вверх. Значения функции положительны вне интервала между корнями.

Следовательно, решение: $x \in (-\infty; 0) \cup (1; \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (1; \infty)$.

7) $x^2 + 25x \ge 0$

Разложим левую часть на множители: $x(x + 25) \ge 0$.

Корни уравнения $x(x+25)=0$ равны $x_1=0$ и $x_2=-25$.

Ветви параболы $y = x^2 + 25x$ направлены вверх ($a=1>0$). Значения функции неотрицательны (больше или равны нулю) на лучах, находящихся вне отрезка между корнями, включая сами корни.

Расположим корни на числовой оси: $-25$ и $0$.

Решение: $x \in (-\infty; -25] \cup [0; \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -25] \cup [0; \infty)$.

8) $0.1x^2 - 2 \le 0$

Перенесем $-2$ в правую часть: $0.1x^2 \le 2$.

Умножим обе части на $10$: $x^2 \le 20$.

Это неравенство равносильно системе: $\begin{cases} x \le \sqrt{20} \\ x \ge -\sqrt{20} \end{cases}$

Упростим корень: $\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$.

Таким образом, $-2\sqrt{5} \le x \le 2\sqrt{5}$.

Решение можно записать в виде отрезка: $x \in [-2\sqrt{5}; 2\sqrt{5}]$.

Ответ: $x \in [-2\sqrt{5}; 2\sqrt{5}]$.

977. Найдите целые решения неравенства:

1) $\frac{1}{3}x^2 + 3x + 6 < 0;$

2) $-4x^2 + 3x + 1 \geq 0.$

1) Для решения неравенства $\frac{1}{3}x^2 + 3x + 6 < 0$ сначала избавимся от дробного коэффициента, умножив обе части неравенства на 3. Так как 3 — положительное число, знак неравенства не изменится: $x^2 + 9x + 18 < 0$. Теперь найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 9x + 18 = 0$. Воспользуемся формулой для корней квадратного уравнения. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 81 - 72 = 9$. Корни уравнения: $x_1 = \frac{-9 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 - 3}{2} = -6$ $x_2 = \frac{-9 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 + 3}{2} = -3$ Графиком функции $y = x^2 + 9x + 18$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен). Значения функции будут отрицательными ($< 0$) на интервале между корнями. Следовательно, решение неравенства есть интервал $(-6; -3)$. Целые числа, входящие в этот интервал: -5 и -4.

Ответ: -5; -4.

2) Рассмотрим неравенство $-4x^2 + 3x + 1 \ge 0$. Для удобства умножим обе части неравенства на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный: $4x^2 - 3x - 1 \le 0$. Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $4x^2 - 3x - 1 = 0$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25$. Корни уравнения: $x_1 = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{3 - 5}{8} = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}$ $x_2 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{3 + 5}{8} = \frac{8}{8} = 1$ Графиком функции $y = 4x^2 - 3x - 1$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции будут не положительными ($\le 0$) на отрезке между корнями, включая сами корни. Следовательно, решение неравенства есть отрезок $[-\frac{1}{4}; 1]$. Целые числа, входящие в этот отрезок: 0 и 1.

Ответ: 0; 1.