Страница 273 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

961. Укажите, какие из данных линейных функций являются возрастающими, а какие — убывающими:

1) $y = -4x;$

2) $y = 4x - 7;$

3) $y = \frac{x}{4};$

4) $y = 4 - x.$

Для определения того, является ли линейная функция возрастающей или убывающей, необходимо проанализировать ее угловой коэффициент $k$ в общем виде уравнения $y = kx + b$.

• Если угловой коэффициент $k$ положителен ($k > 0$), то функция является возрастающей. Это означает, что при увеличении значения $x$ значение $y$ также увеличивается.
• Если угловой коэффициент $k$ отрицателен ($k < 0$), то функция является убывающей. Это означает, что при увеличении значения $x$ значение $y$ уменьшается.

Рассмотрим каждую из данных функций:

1) $y = -4x$

Это линейная функция вида $y = kx + b$, где угловой коэффициент $k = -4$ и $b = 0$.

Поскольку $k = -4$, а $-4 < 0$, функция является убывающей.

Ответ: убывающая.

2) $y = 4x - 7$

Это линейная функция вида $y = kx + b$, где угловой коэффициент $k = 4$ и $b = -7$.

Поскольку $k = 4$, а $4 > 0$, функция является возрастающей.

Ответ: возрастающая.

3) $y = \frac{x}{4}$

Эту функцию можно представить в стандартном виде $y = \frac{1}{4}x$. Здесь угловой коэффициент $k = \frac{1}{4}$ и $b = 0$.

Поскольку $k = \frac{1}{4}$, а $\frac{1}{4} > 0$, функция является возрастающей.

Ответ: возрастающая.

4) $y = 4 - x$

Перепишем эту функцию в стандартном виде $y = -x + 4$ или $y = -1 \cdot x + 4$. Здесь угловой коэффициент $k = -1$ и $b = 4$.

Поскольку $k = -1$, а $-1 < 0$, функция является убывающей.

Ответ: убывающая.

962. Какая из данных функций является убывающей:

1) $y = x^2$;

2) $y = \frac{2}{x}$;

3) $y = -2x$;

4) $y = 2x$?

Для того чтобы определить, какая из предложенных функций является убывающей, проанализируем каждую из них. Функция является убывающей на всей своей области определения, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этой области, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.

1) $y = x^2$

Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх. Область определения — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$). Функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$. Поскольку функция не убывает на всей своей области определения, она не является убывающей в целом.

2) $y = \frac{2}{x}$

Это функция обратной пропорциональности, её график — гипербола. Область определения: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$. На каждом из интервалов, составляющих область определения, функция убывает. Однако, если рассматривать всю область определения, она не является убывающей. Например, если взять $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$, то $x_1 < x_2$, но $y_1 = -2$ и $y_2 = 2$, то есть $y_1 < y_2$, что противоречит определению убывающей функции.

3) $y = -2x$

Это линейная функция вида $y=kx+b$ с угловым коэффициентом $k = -2$ и $b=0$. Область определения — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$). Поскольку угловой коэффициент $k = -2$ отрицателен, функция является убывающей на всей своей области определения. Для любых $x_1 < x_2$ после умножения на отрицательное число $-2$ знак неравенства изменится: $-2x_1 > -2x_2$, что означает $y_1 > y_2$.

4) $y = 2x$

Это линейная функция с угловым коэффициентом $k = 2$. Поскольку коэффициент $k=2$ положителен, функция является возрастающей на всей своей области определения.

Таким образом, из всех предложенных функций только $y = -2x$ является убывающей на всей своей области определения.

Ответ: 3) $y=-2x$.

963. Решите графически уравнение:

1) $(x + 1)^2 = -\frac{2}{x};$

2) $x^2 - 2 = -\sqrt{x};$

3) $\sqrt{x + 1} = 5 - x;$;

4) $\frac{6}{x - 2} = x + 3;$;

5) $(x + 2)^2 = \sqrt{x + 4};$

6) $\frac{5}{x} + 3 = (x - 3)^2.$

Чтобы решить уравнения графически, представим каждую часть уравнения как отдельную функцию и найдем абсциссы точек пересечения их графиков.

1) $(x + 1)^2 = -\frac{2}{x}$

Построим в одной системе координат графики двух функций: $y = (x + 1)^2$ и $y = -\frac{2}{x}$.

Первая функция, $y = (x + 1)^2$, — это парабола, ветви которой направлены вверх. Она получена из графика $y = x^2$ сдвигом на 1 единицу влево по оси абсцисс. Вершина параболы находится в точке $(-1, 0)$.

Вторая функция, $y = -\frac{2}{x}$, — это гипербола. Она получена из графика $y = \frac{1}{x}$ путем растяжения в 2 раза вдоль оси ординат и симметричного отражения относительно оси абсцисс. Ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптоты — оси координат.

Построим графики.
Для параболы $y=(x+1)^2$:
При $x=-2, y=(-2+1)^2=1$.
При $x=-1, y=(-1+1)^2=0$.
При $x=0, y=(0+1)^2=1$.

Для гиперболы $y = -\frac{2}{x}$:
При $x=-2, y = -\frac{2}{-2} = 1$.
При $x=-1, y = -\frac{2}{-1} = 2$.
При $x=1, y = -\frac{2}{1} = -2$.

Из построенных графиков видно, что они пересекаются в одной точке с координатами $(-2, 1)$. Абсцисса этой точки равна -2.

Ответ: $x = -2$.

2) $x^2 - 2 = -\sqrt{x}$

Построим в одной системе координат графики двух функций: $y = x^2 - 2$ и $y = -\sqrt{x}$.

Область определения уравнения задается условием $x \ge 0$.

Первая функция, $y = x^2 - 2$, — это парабола, ветви которой направлены вверх. Она получена из графика $y = x^2$ сдвигом на 2 единицы вниз по оси ординат. Вершина параболы находится в точке $(0, -2)$.

Вторая функция, $y = -\sqrt{x}$, — это ветвь параболы, симметричной параболе $y=x^2$ относительно биссектрисы I координатной четверти, и отраженная относительно оси абсцисс. График начинается в точке $(0, 0)$ и уходит в IV координатную четверть.

Построим графики для $x \ge 0$.
Для параболы $y=x^2-2$:
При $x=0, y=0^2-2=-2$.
При $x=1, y=1^2-2=-1$.
При $x=2, y=2^2-2=2$.

Для функции $y = -\sqrt{x}$:
При $x=0, y = -\sqrt{0} = 0$.
При $x=1, y = -\sqrt{1} = -1$.
При $x=4, y = -\sqrt{4} = -2$.

Из построенных графиков видно, что они пересекаются в одной точке с координатами $(1, -1)$. Абсцисса этой точки равна 1.

Ответ: $x = 1$.

3) $\sqrt{x+1} = 5-x$

Построим в одной системе координат графики двух функций: $y = \sqrt{x+1}$ и $y = 5-x$.

Область определения уравнения: $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$. Также, поскольку левая часть неотрицательна, $5-x \ge 0 \implies x \le 5$. Ищем решения на отрезке $[-1, 5]$.

Первая функция, $y = \sqrt{x+1}$, — это график функции $y=\sqrt{x}$, сдвинутый на 1 единицу влево по оси абсцисс. Начальная точка графика — $(-1, 0)$.

Вторая функция, $y = 5-x$, — это прямая линия, проходящая через точки $(0, 5)$ и $(5, 0)$.

Построим графики.
Для $y=\sqrt{x+1}$:
При $x=-1, y=\sqrt{0}=0$.
При $x=0, y=\sqrt{1}=1$.
При $x=3, y=\sqrt{4}=2$.

Для прямой $y=5-x$:
При $x=3, y=5-3=2$.
При $x=5, y=5-5=0$.

Графики пересекаются в точке $(3, 2)$. Абсцисса этой точки равна 3.

Ответ: $x = 3$.

4) $\frac{6}{x-2} = x+3$

Построим в одной системе координат графики двух функций: $y = \frac{6}{x-2}$ и $y = x+3$.

Первая функция, $y = \frac{6}{x-2}$, — это гипербола, полученная из $y=\frac{1}{x}$ сдвигом на 2 единицы вправо по оси абсцисс и растяжением в 6 раз вдоль оси ординат. Вертикальная асимптота $x=2$, горизонтальная асимптота $y=0$.

Вторая функция, $y = x+3$, — это прямая линия с угловым коэффициентом 1 и пересекающая ось ординат в точке $(0, 3)$.

Построим графики.
Для гиперболы $y = \frac{6}{x-2}$:
При $x=3, y=\frac{6}{1}=6$.
При $x=4, y=\frac{6}{2}=3$.
При $x=-1, y=\frac{6}{-3}=-2$.
При $x=-4, y=\frac{6}{-6}=-1$.

Для прямой $y=x+3$:
При $x=3, y=3+3=6$.
При $x=-4, y=-4+3=-1$.

Графики пересекаются в двух точках. Из построенных точек видно, что это точки $(3, 6)$ и $(-4, -1)$. Абсциссы этих точек 3 и -4.

Ответ: $x_1 = -4, x_2 = 3$.

5) $(x+2)^2 = \sqrt{x+4}$

Построим в одной системе координат графики двух функций: $y = (x+2)^2$ и $y = \sqrt{x+4}$.

Область определения: $x+4 \ge 0 \implies x \ge -4$.

Первая функция, $y = (x+2)^2$, — это парабола, полученная из $y=x^2$ сдвигом на 2 единицы влево. Вершина в точке $(-2, 0)$.

Вторая функция, $y = \sqrt{x+4}$, — это график $y=\sqrt{x}$, сдвинутый на 4 единицы влево. Начальная точка графика — $(-4, 0)$.

Построим графики.
Для параболы $y=(x+2)^2$:
При $x=-4, y=(-2)^2=4$.
При $x=-3, y=(-1)^2=1$.
При $x=-2, y=0^2=0$.
При $x=-1, y=1^2=1$.

Для $y=\sqrt{x+4}$:
При $x=-4, y=\sqrt{0}=0$.
При $x=-3, y=\sqrt{1}=1$.
При $x=0, y=\sqrt{4}=2$.

Из графика видно, что функции пересекаются в точке $(-3, 1)$. Таким образом, $x = -3$ является решением. Также видно, что графики пересекаются еще в одной точке, абсцисса которой находится в интервале $(-1, 0)$. Точное значение второго корня сложно определить графически, но его существование очевидно из поведения графиков: при $x=-1$ парабола ниже ($y=1$), чем функция корня ($y=\sqrt{3} \approx 1.73$), а при $x=0$ парабола уже выше ($y=4$), чем функция корня ($y=2$). В школьном курсе при графическом решении обычно достаточно указать корень, который легко определяется из чертежа.

Ответ: $x = -3$.

6) $\frac{5}{x} + 3 = (x-3)^2$

Построим в одной системе координат графики двух функций: $y = \frac{5}{x} + 3$ и $y = (x-3)^2$.

Область определения: $x \ne 0$.

Первая функция, $y = \frac{5}{x} + 3$, — это гипербола, полученная из $y=\frac{1}{x}$ растяжением в 5 раз вдоль оси ординат и сдвигом на 3 единицы вверх. Асимптоты: $x=0$ и $y=3$.

Вторая функция, $y = (x-3)^2$, — это парабола, полученная из $y=x^2$ сдвигом на 3 единицы вправо. Вершина в точке $(3, 0)$.

Построим графики.
Для $y = \frac{5}{x} + 3$:
При $x=1, y=5+3=8$.
При $x=2.5, y=2+3=5$.
При $x=5, y=1+3=4$.

Для параболы $y=(x-3)^2$:
При $x=1, y=(-2)^2=4$.
При $x=3, y=0^2=0$.
При $x=5, y=2^2=4$.

Из построенных графиков видно, что они пересекаются в точке $(5, 4)$. При $x<0$ парабола всегда положительна, а гипербола $y=\frac{5}{x}+3$ принимает как положительные (при $x < -5/3$), так и отрицательные значения, но анализ показывает, что пересечений в этой области нет. Алгебраическая проверка ($x^3 - 6x^2 + 6x - 5 = (x-5)(x^2-x+1)=0$) подтверждает, что действительный корень только один.

Ответ: $x = 5$.

964. Чему равна абсцисса вершины параболы:

1) $y = 4x^2 - 12x + 1$;

2) $y = -0.2x^2 - 2x + 3$?

Абсцисса (координата $x$) вершины параболы, которая задается уравнением вида $y = ax^2 + bx + c$, вычисляется по формуле:

$x_v = -\frac{b}{2a}$

Применим эту формулу для каждой из заданных парабол.

1) Дана парабола $y = 4x^2 - 12x + 1$.
В этом уравнении коэффициенты равны: $a = 4$, $b = -12$, $c = 1$.
Вычисляем абсциссу вершины:
$x_v = -\frac{-12}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1,5$.
Ответ: 1,5.

2) Дана парабола $y = -0,2x^2 - 2x + 3$.
В этом уравнении коэффициенты равны: $a = -0,2$, $b = -2$, $c = 3$.
Вычисляем абсциссу вершины:
$x_v = -\frac{-2}{2 \cdot (-0,2)} = \frac{2}{-0,4} = -\frac{20}{4} = -5$.
Ответ: -5.

965. Укажите, вершина какой из данных парабол принадлежит оси ординат, а какой – оси абсцисс:

1) $y = x^2 - 4x + 3;$

2) $y = x^2 - 8;$

3) $y = x^2 - 6x + 9;$

4) $y = x^2 + 2x.$

Для того чтобы определить, принадлежит ли вершина параболы одной из координатных осей, необходимо найти координаты ее вершины $(x_0, y_0)$. Уравнение параболы в общем виде: $y = ax^2 + bx + c$. Координаты вершины вычисляются по формулам:

$x_0 = -\frac{b}{2a}$

$y_0 = y(x_0) = a(x_0)^2 + b(x_0) + c$

Вершина параболы принадлежит оси ординат (ось OY), если ее абсцисса равна нулю, то есть $x_0 = 0$.

Вершина параболы принадлежит оси абсцисс (ось OX), если ее ордината равна нулю, то есть $y_0 = 0$.

Проанализируем каждую из данных парабол:

1) $y = x^2 - 4x + 3$

Для этой параболы коэффициенты $a = 1$, $b = -4$, $c = 3$.
Найдем координаты вершины:
$x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$
$y_0 = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$
Вершина находится в точке $(2, -1)$. Поскольку ни одна из координат не равна нулю, вершина не принадлежит ни оси ординат, ни оси абсцисс.
Ответ: вершина не принадлежит ни одной из координатных осей.

2) $y = x^2 - 8$

Для этой параболы коэффициенты $a = 1$, $b = 0$, $c = -8$.
Найдем координаты вершины:
$x_0 = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0$
$y_0 = (0)^2 - 8 = -8$
Вершина находится в точке $(0, -8)$. Поскольку абсцисса вершины равна нулю ($x_0 = 0$), вершина принадлежит оси ординат.
Ответ: вершина принадлежит оси ординат.

3) $y = x^2 - 6x + 9$

Для этой параболы коэффициенты $a = 1$, $b = -6$, $c = 9$.
Найдем координаты вершины:
$x_0 = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$
$y_0 = (3)^2 - 6(3) + 9 = 9 - 18 + 9 = 0$
Вершина находится в точке $(3, 0)$. Поскольку ордината вершины равна нулю ($y_0 = 0$), вершина принадлежит оси абсцисс.
Ответ: вершина принадлежит оси абсцисс.

4) $y = x^2 + 2x$

Для этой параболы коэффициенты $a = 1$, $b = 2$, $c = 0$.
Найдем координаты вершины:
$x_0 = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$
$y_0 = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1$
Вершина находится в точке $(-1, -1)$. Поскольку ни одна из координат не равна нулю, вершина не принадлежит ни оси ординат, ни оси абсцисс.
Ответ: вершина не принадлежит ни одной из координатных осей.

Таким образом, на основе проведенного анализа можно сделать вывод: вершина параболы 2) $y=x^2-8$ принадлежит оси ординат, а вершина параболы 3) $y=x^2-6x+9$ принадлежит оси абсцисс.

966. Найдите значения $b$ и $c$, при которых функция $y = x^2 + bx + c$:

1) имеет единственный нуль в точке $x = -3$;

2) принимает наименьшее значение, равное 4, в точке $x = 0$;

3) имеет нули в точках $x = -2$ и $x = 5$.

1) имеет единственный нуль в точке x = –3;

Квадратичная функция $y = x^2 + bx + c$ имеет единственный нуль, если график функции (парабола) касается оси абсцисс в одной точке. Эта точка является вершиной параболы. Таким образом, вершина параболы находится в точке с координатами $(–3, 0)$.

Координата абсциссы вершины параболы $y = ax^2 + bx + c$ вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. В нашем случае $a=1$ и $x_0 = -3$. Подставим эти значения в формулу: $-3 = -\frac{b}{2 \cdot 1}$ $-3 = -\frac{b}{2}$ $b = 6$

Теперь, зная значение $b$, мы можем найти $c$, подставив координаты точки $(–3, 0)$ в уравнение функции: $y = x^2 + 6x + c$ $0 = (-3)^2 + 6(-3) + c$ $0 = 9 - 18 + c$ $0 = -9 + c$ $c = 9$

Другой способ — использовать тот факт, что если у квадратного трехчлена есть один корень $x_0$, то его можно представить в виде $a(x-x_0)^2$. В нашем случае $a=1$ и $x_0 = -3$: $y = (x - (-3))^2 = (x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$. Сравнивая это с $y = x^2 + bx + c$, получаем $b=6$ и $c=9$.

Ответ: $b=6$, $c=9$.

2) принимает наименьшее значение, равное 4, в точке x = 0;

Поскольку коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число), ветви параболы направлены вверх, и функция имеет наименьшее значение в своей вершине. По условию, наименьшее значение функции равно 4 и достигается при $x=0$. Это означает, что вершина параболы имеет координаты $(0, 4)$.

Используем формулу для абсциссы вершины $x_0 = -\frac{b}{2a}$: $0 = -\frac{b}{2 \cdot 1}$ $0 = -\frac{b}{2}$ $b = 0$

Теперь подставим координаты вершины $(0, 4)$ и значение $b=0$ в уравнение функции, чтобы найти $c$: $y = x^2 + 0 \cdot x + c$ $4 = 0^2 + 0 + c$ $c = 4$

Ответ: $b=0$, $c=4$.

3) имеет нули в точках x = –2 и x = 5.

Нули функции — это значения $x$, при которых $y=0$. Значит, точки $(–2, 0)$ и $(5, 0)$ принадлежат графику функции. Мы можем составить систему уравнений, подставив эти точки в уравнение $y = x^2 + bx + c$.

Для точки $(–2, 0)$: $0 = (-2)^2 + b(-2) + c$ $0 = 4 - 2b + c$ $2b - c = 4$ (1)

Для точки $(5, 0)$: $0 = 5^2 + b(5) + c$ $0 = 25 + 5b + c$ $5b + c = -25$ (2)

Теперь решим систему уравнений. Сложим уравнение (1) и (2): $(2b - c) + (5b + c) = 4 + (-25)$ $7b = -21$ $b = -3$

Подставим значение $b=-3$ в первое уравнение: $2(-3) - c = 4$ $-6 - c = 4$ $-c = 10$ $c = -10$

Другой способ — использовать теорему Виета для корней $x_1 = -2$ и $x_2 = 5$ приведенного квадратного уравнения $x^2+bx+c=0$: $x_1 + x_2 = -b \implies -2 + 5 = -b \implies 3 = -b \implies b = -3$ $x_1 \cdot x_2 = c \implies (-2) \cdot 5 = c \implies c = -10$

Ответ: $b=-3$, $c=-10$.

967. Постройте график данной функции, найдите её область значений, промежутки возрастания и убывания:

1) $y = -2x^2 + 1;$

2) $y = 0.5x^2 - 2;$

3) $y = x^2 + 6x + 5;$

4) $y = 4x - x^2;$

5) $y = -x^2 + 4x - 3;$

6) $y = x^2 - 4x + 5;$

7) $y = 2x^2 - 3x - 2;$

8) $y = -3x^2 + 8x + 3.$

1)

Рассмотрим функцию $y = -2x^2 + 1$.

Построение графика:
Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент $a = -2 < 0$, следовательно, ветви параболы направлены вниз.

Координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot (-2)} = 0$.

$y_v = -2(0)^2 + 1 = 1$.

Вершина параболы находится в точке $(0, 1)$. Ось симметрии — прямая $x=0$.

Точки пересечения с осями координат: с осью OY — $(0, 1)$; с осью OX — решим уравнение $-2x^2 + 1 = 0$, откуда $x^2 = \frac{1}{2}$, то есть $x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$. Точки пересечения: $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ и $(\frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$.

Область значений:
Так как ветви параболы направлены вниз, а ордината вершины $y_v=1$, область значений функции: $E(y) = (-\infty, 1]$.

Промежутки возрастания и убывания:
Функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$ и убывает на промежутке $[0, +\infty)$.

Ответ: Область значений: $(-\infty, 1]$. Промежуток возрастания: $(-\infty, 0]$. Промежуток убывания: $[0, +\infty)$.

2)

Рассмотрим функцию $y = 0.5x^2 - 2$.

Построение графика:
Это парабола с ветвями, направленными вверх, так как $a = 0.5 > 0$.

Координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 0.5} = 0$.

$y_v = 0.5(0)^2 - 2 = -2$.

Вершина параболы находится в точке $(0, -2)$. Ось симметрии — прямая $x=0$.

Точки пересечения с осями координат: с осью OY — $(0, -2)$; с осью OX — решим уравнение $0.5x^2 - 2 = 0$, откуда $x^2 = 4$, то есть $x = \pm 2$. Точки пересечения: $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.

Область значений:
Так как ветви параболы направлены вверх, а ордината вершины $y_v=-2$, область значений функции: $E(y) = [-2, +\infty)$.

Промежутки возрастания и убывания:
Функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.

Ответ: Область значений: $[-2, +\infty)$. Промежуток убывания: $(-\infty, 0]$. Промежуток возрастания: $[0, +\infty)$.

3)

Рассмотрим функцию $y = x^2 + 6x + 5$.

Построение графика:
Это парабола с ветвями, направленными вверх, так как $a = 1 > 0$.

Координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3$.

$y_v = (-3)^2 + 6(-3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4$.

Вершина параболы находится в точке $(-3, -4)$. Ось симметрии — прямая $x=-3$.

Точки пересечения с осями координат: с осью OY — $(0, 5)$; с осью OX — решим уравнение $x^2 + 6x + 5 = 0$. По теореме Виета корни $x_1=-1, x_2=-5$. Точки пересечения: $(-1, 0)$ и $(-5, 0)$.

Область значений:
Так как ветви параболы направлены вверх, а ордината вершины $y_v=-4$, область значений функции: $E(y) = [-4, +\infty)$.

Промежутки возрастания и убывания:
Функция убывает на промежутке $(-\infty, -3]$ и возрастает на промежутке $[-3, +\infty)$.

Ответ: Область значений: $[-4, +\infty)$. Промежуток убывания: $(-\infty, -3]$. Промежуток возрастания: $[-3, +\infty)$.

4)

Рассмотрим функцию $y = 4x - x^2$, или $y = -x^2 + 4x$.

Построение графика:
Это парабола с ветвями, направленными вниз, так как $a = -1 < 0$.

Координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2$.

$y_v = -(2)^2 + 4(2) = -4 + 8 = 4$.

Вершина параболы находится в точке $(2, 4)$. Ось симметрии — прямая $x=2$.

Точки пересечения с осями координат: с осью OY — $(0, 0)$; с осью OX — решим уравнение $-x^2 + 4x = 0$, откуда $-x(x-4)=0$, то есть $x=0$ или $x=4$. Точки пересечения: $(0, 0)$ и $(4, 0)$.

Область значений:
Так как ветви параболы направлены вниз, а ордината вершины $y_v=4$, область значений функции: $E(y) = (-\infty, 4]$.

Промежутки возрастания и убывания:
Функция возрастает на промежутке $(-\infty, 2]$ и убывает на промежутке $[2, +\infty)$.

Ответ: Область значений: $(-\infty, 4]$. Промежуток возрастания: $(-\infty, 2]$. Промежуток убывания: $[2, +\infty)$.

5)

Рассмотрим функцию $y = -x^2 + 4x - 3$.

Построение графика:
Это парабола с ветвями, направленными вниз, так как $a = -1 < 0$.

Координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2$.

$y_v = -(2)^2 + 4(2) - 3 = -4 + 8 - 3 = 1$.

Вершина параболы находится в точке $(2, 1)$. Ось симметрии — прямая $x=2$.

Точки пересечения с осями координат: с осью OY — $(0, -3)$; с осью OX — решим уравнение $-x^2 + 4x - 3 = 0$, или $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета корни $x_1=1, x_2=3$. Точки пересечения: $(1, 0)$ и $(3, 0)$.

Область значений:
Так как ветви параболы направлены вниз, а ордината вершины $y_v=1$, область значений функции: $E(y) = (-\infty, 1]$.

Промежутки возрастания и убывания:
Функция возрастает на промежутке $(-\infty, 2]$ и убывает на промежутке $[2, +\infty)$.

Ответ: Область значений: $(-\infty, 1]$. Промежуток возрастания: $(-\infty, 2]$. Промежуток убывания: $[2, +\infty)$.

6)

Рассмотрим функцию $y = x^2 - 4x + 5$.

Построение графика:
Это парабола с ветвями, направленными вверх, так как $a = 1 > 0$.

Координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.

$y_v = (2)^2 - 4(2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1$.

Вершина параболы находится в точке $(2, 1)$. Ось симметрии — прямая $x=2$.

Точки пересечения с осями координат: с осью OY — $(0, 5)$. Для нахождения точек пересечения с осью OX решим уравнение $x^2 - 4x + 5 = 0$. Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4 < 0$. Так как дискриминант отрицательный, действительных корней нет, и парабола не пересекает ось OX.

Область значений:
Так как ветви параболы направлены вверх, а ордината вершины $y_v=1$, область значений функции: $E(y) = [1, +\infty)$.

Промежутки возрастания и убывания:
Функция убывает на промежутке $(-\infty, 2]$ и возрастает на промежутке $[2, +\infty)$.

Ответ: Область значений: $[1, +\infty)$. Промежуток убывания: $(-\infty, 2]$. Промежуток возрастания: $[2, +\infty)$.

7)

Рассмотрим функцию $y = 2x^2 - 3x - 2$.

Построение графика:
Это парабола с ветвями, направленными вверх, так как $a = 2 > 0$.

Координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4}$.

$y_v = 2(\frac{3}{4})^2 - 3(\frac{3}{4}) - 2 = 2 \cdot \frac{9}{16} - \frac{9}{4} - 2 = \frac{9}{8} - \frac{18}{8} - \frac{16}{8} = -\frac{25}{8}$.

Вершина параболы находится в точке $(\frac{3}{4}, -\frac{25}{8})$. Ось симметрии — прямая $x=\frac{3}{4}$.

Точки пересечения с осями координат: с осью OY — $(0, -2)$; с осью OX — решим уравнение $2x^2 - 3x - 2 = 0$. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$. Корни: $x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{4}$, то есть $x_1 = 2$ и $x_2 = -\frac{1}{2}$. Точки пересечения: $(2, 0)$ и $(-\frac{1}{2}, 0)$.

Область значений:
Так как ветви параболы направлены вверх, а ордината вершины $y_v=-\frac{25}{8}$, область значений функции: $E(y) = [-\frac{25}{8}, +\infty)$.

Промежутки возрастания и убывания:
Функция убывает на промежутке $(-\infty, \frac{3}{4}]$ и возрастает на промежутке $[\frac{3}{4}, +\infty)$.

Ответ: Область значений: $[-\frac{25}{8}, +\infty)$. Промежуток убывания: $(-\infty, \frac{3}{4}]$. Промежуток возрастания: $[\frac{3}{4}, +\infty)$.

8)

Рассмотрим функцию $y = -3x^2 + 8x + 3$.

Построение графика:
Это парабола с ветвями, направленными вниз, так как $a = -3 < 0$.

Координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot (-3)} = \frac{4}{3}$.

$y_v = -3(\frac{4}{3})^2 + 8(\frac{4}{3}) + 3 = -3 \cdot \frac{16}{9} + \frac{32}{3} + 3 = -\frac{16}{3} + \frac{32}{3} + \frac{9}{3} = \frac{25}{3}$.

Вершина параболы находится в точке $(\frac{4}{3}, \frac{25}{3})$. Ось симметрии — прямая $x=\frac{4}{3}$.

Точки пересечения с осями координат: с осью OY — $(0, 3)$; с осью OX — решим уравнение $-3x^2 + 8x + 3 = 0$, или $3x^2 - 8x - 3 = 0$. Дискриминант $D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100$. Корни: $x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{100}}{6}$, то есть $x_1 = 3$ и $x_2 = -\frac{1}{3}$. Точки пересечения: $(3, 0)$ и $(-\frac{1}{3}, 0)$.

Область значений:
Так как ветви параболы направлены вниз, а ордината вершины $y_v=\frac{25}{3}$, область значений функции: $E(y) = (-\infty, \frac{25}{3}]$.

Промежутки возрастания и убывания:
Функция возрастает на промежутке $(-\infty, \frac{4}{3}]$ и убывает на промежутке $[\frac{4}{3}, +\infty)$.

Ответ: Область значений: $(-\infty, \frac{25}{3}]$. Промежуток возрастания: $(-\infty, \frac{4}{3}]$. Промежуток убывания: $[\frac{4}{3}, +\infty)$.