Страница 280 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1022. Сумма скольких первых членов арифметической прогрессии 105, 98, 91, ... равна нулю?

Чтобы найти, сумма скольких первых членов арифметической прогрессии равна нулю, нам нужно определить параметры этой прогрессии и использовать формулу суммы.

Заданная арифметическая прогрессия: 105, 98, 91, ...

1. Найдем первый член и разность прогрессии.
Первый член прогрессии $a_1 = 105$.
Разность прогрессии $d$ — это значение, на которое каждый следующий член отличается от предыдущего. $d = a_2 - a_1 = 98 - 105 = -7$.

2. Используем формулу суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии.
Формула суммы $S_n$ имеет вид: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

3. Составим и решим уравнение.
По условию задачи, сумма должна быть равна нулю, то есть $S_n = 0$. Подставим в формулу известные значения $a_1 = 105$ и $d = -7$: $0 = \frac{2 \cdot 105 + (-7)(n-1)}{2} \cdot n$

Упростим полученное уравнение: $0 = \frac{210 - 7(n-1)}{2} \cdot n$ $0 = \frac{210 - 7n + 7}{2} \cdot n$ $0 = \frac{217 - 7n}{2} \cdot n$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Это дает нам два возможных случая:

а) $n = 0$. Этот вариант не является решением задачи, так как количество членов прогрессии должно быть натуральным числом.

б) $\frac{217 - 7n}{2} = 0$. $217 - 7n = 0$ $7n = 217$ $n = \frac{217}{7}$ $n = 31$

Следовательно, сумма первых 31 членов данной арифметической прогрессии равна нулю.

Ответ: 31.

1023. Найдите величины углов выпуклого четырёхугольника, если они образуют арифметическую прогрессию с разностью $54^{\circ}$.

1023.

Пусть четыре угла выпуклого четырехугольника являются последовательными членами арифметической прогрессии $a_1, a_2, a_3, a_4$. Сумма углов выпуклого четырехугольника всегда равна $360^\circ$.

По условию задачи, разность этой прогрессии $d = 54^\circ$. Мы можем выразить все углы через первый (наименьший) член прогрессии $a_1$:

Первый угол: $a_1$
Второй угол: $a_2 = a_1 + d = a_1 + 54^\circ$
Третий угол: $a_3 = a_1 + 2d = a_1 + 2 \cdot 54^\circ = a_1 + 108^\circ$
Четвертый угол: $a_4 = a_1 + 3d = a_1 + 3 \cdot 54^\circ = a_1 + 162^\circ$

Составим уравнение, исходя из того, что сумма углов равна $360^\circ$:

$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 360^\circ$

Подставим выражения для углов в это уравнение:

$a_1 + (a_1 + 54^\circ) + (a_1 + 108^\circ) + (a_1 + 162^\circ) = 360^\circ$

Сгруппируем и сложим подобные члены:

$4a_1 + (54^\circ + 108^\circ + 162^\circ) = 360^\circ$

$4a_1 + 324^\circ = 360^\circ$

Теперь решим уравнение относительно $a_1$:

$4a_1 = 360^\circ - 324^\circ$

$4a_1 = 36^\circ$

$a_1 = \frac{36^\circ}{4} = 9^\circ$

Мы нашли величину первого, самого маленького угла. Теперь найдем остальные углы:

$a_1 = 9^\circ$
$a_2 = 9^\circ + 54^\circ = 63^\circ$
$a_3 = 63^\circ + 54^\circ = 117^\circ$
$a_4 = 117^\circ + 54^\circ = 171^\circ$

Все найденные углы меньше $180^\circ$, что соответствует условию о выпуклости четырехугольника. Проверка суммы: $9^\circ + 63^\circ + 117^\circ + 171^\circ = 360^\circ$.

Ответ: углы четырехугольника равны $9^\circ, 63^\circ, 117^\circ, 171^\circ$.

1024.Длины сторон прямоугольного треугольника образуют арифметическую прогрессию. Найдите катеты треугольника, если его гипотенуза равна 4 см.

Пусть длины сторон прямоугольного треугольника, образующие арифметическую прогрессию, равны $a_1, a_2, a_3$. В прямоугольном треугольнике гипотенуза является самой длинной стороной. Удобно представить стороны в виде $x-d$, $x$ и $x+d$, где $d$ — разность прогрессии ($d>0$). Тогда $x-d$ и $x$ — это катеты, а $x+d$ — гипотенуза.

По условию задачи, длина гипотенузы равна 4 см, следовательно, мы имеем первое уравнение:

$x+d = 4$

Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Запишем это утверждение для наших сторон, чтобы получить второе уравнение:

$(x-d)^2 + x^2 = (x+d)^2$

Теперь решим это уравнение. Раскроем скобки:

$x^2 - 2xd + d^2 + x^2 = x^2 + 2xd + d^2$

Упростим выражение, сократив одинаковые члены ($x^2$ и $d^2$) с обеих сторон:

$x^2 - 2xd = 2xd$

Перенесем все члены с $x$ в одну сторону:

$x^2 = 4xd$

Поскольку $x$ — это длина стороны треугольника, $x$ не может быть равно нулю ($x>0$). Поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $x$:

$x = 4d$

Теперь у нас есть система из двух простых линейных уравнений:

$x + d = 4$
$x = 4d$

Подставим выражение для $x$ из второго уравнения в первое:

$4d + d = 4$

$5d = 4$

$d = \frac{4}{5} = 0.8$

Зная разность прогрессии $d$, найдем $x$:

$x = 4d = 4 \cdot 0.8 = 3.2$

Теперь мы можем определить длины катетов. Катеты — это стороны $x-d$ и $x$.

Длина первого катета: $x - d = 3.2 - 0.8 = 2.4$ см.

Длина второго катета: $x = 3.2$ см.

Проверка: гипотенуза равна $x+d = 3.2 + 0.8 = 4$ см, что соответствует условию. Катеты 2,4 см и 3,2 см, гипотенуза 4 см. $(2.4)^2 + (3.2)^2 = 5.76 + 10.24 = 16 = 4^2$. Все верно.

Ответ: катеты треугольника равны 2,4 см и 3,2 см.

1025. Известно, что бесконечная последовательность $a_1, a_2, a_3, \dots$ является арифметической прогрессией с разностью $d \neq 0$. Является ли арифметической прогрессией последовательность:

1) $-a_2, -a_4, -a_6, -a_8, \dots$;

2) $a_1 + 5, a_2 + 5, a_3 + 5, \dots$;

3) $1 - a_1, 1 - a_2, 1 - a_3, \dots$;

4) $a_1^2, a_2^2, a_3^2, \dots$;

5) $a_1 + a_2, a_2 + a_3, a_3 + a_4, \dots$;

6) $a_1 + a_2, a_3 + a_4, a_5 + a_6, \dots$?

В случае утвердительного ответа укажите, чему равна разность прогрессии.

Дано, что последовательность $a_1, a_2, a_3, ...$ является арифметической прогрессией с разностью $d \ne 0$. Это означает, что для любого натурального $n$ выполняется равенство $a_{n+1} = a_n + d$. Более общо, $a_k = a_m + (k-m)d$ для любых натуральных $k$ и $m$.

1) $-a_2, -a_4, -a_6, -a_8, ...$
Обозначим n-й член новой последовательности как $b_n$. Тогда $b_n = -a_{2n}$. Найдем разность между соседними членами: $b_{n+1} - b_n$. $b_{n+1} = -a_{2(n+1)} = -a_{2n+2}$. Разность равна $b_{n+1} - b_n = (-a_{2n+2}) - (-a_{2n}) = a_{2n} - a_{2n+2}$. Так как $a_{2n+2} = a_{2n} + ((2n+2) - 2n)d = a_{2n} + 2d$, то разность равна $a_{2n} - (a_{2n} + 2d) = -2d$. Разность постоянна и не зависит от $n$. Следовательно, эта последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ: Да, является. Разность прогрессии равна $-2d$.

2) $a_1 + 5, a_2 + 5, a_3 + 5, ...$
Обозначим n-й член новой последовательности как $b_n = a_n + 5$. Найдем разность $b_{n+1} - b_n = (a_{n+1} + 5) - (a_n + 5) = a_{n+1} - a_n$. По определению исходной арифметической прогрессии, $a_{n+1} - a_n = d$. Разность постоянна, значит, последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ: Да, является. Разность прогрессии равна $d$.

3) $1 - a_1, 1 - a_2, 1 - a_3, ...$
Обозначим n-й член новой последовательности как $b_n = 1 - a_n$. Найдем разность $b_{n+1} - b_n = (1 - a_{n+1}) - (1 - a_n) = 1 - a_{n+1} - 1 + a_n = a_n - a_{n+1} = -(a_{n+1} - a_n) = -d$. Разность постоянна, значит, последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ: Да, является. Разность прогрессии равна $-d$.

4) $a_1^2, a_2^2, a_3^2, ...$
Обозначим n-й член новой последовательности как $b_n = a_n^2$. Найдем разность $b_{n+1} - b_n = a_{n+1}^2 - a_n^2$. Используя $a_{n+1} = a_n + d$, получаем $b_{n+1} - b_n = (a_n + d)^2 - a_n^2 = a_n^2 + 2a_nd + d^2 - a_n^2 = 2a_nd + d^2$. Разность $2a_nd + d^2$ зависит от $a_n$, а значит, и от номера члена $n$ (поскольку $d \ne 0$, последовательность $a_n$ не является постоянной). Например, если $a_n = n$ (тогда $d=1$), последовательность $b_n$ будет $1^2, 2^2, 3^2, ...$, т.е. $1, 4, 9, ...$. Разности между членами равны $4-1=3$, $9-4=5$, и они не постоянны. Следовательно, эта последовательность не является арифметической прогрессией.

Ответ: Нет, не является.

5) $a_1 + a_2, a_2 + a_3, a_3 + a_4, ...$
Обозначим n-й член новой последовательности как $b_n = a_n + a_{n+1}$. Найдем разность $b_{n+1} - b_n = (a_{n+1} + a_{n+2}) - (a_n + a_{n+1}) = a_{n+2} - a_n$. Так как $a_{n+2} = a_n + (n+2-n)d = a_n + 2d$, разность равна $(a_n + 2d) - a_n = 2d$. Разность постоянна, значит, последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ: Да, является. Разность прогрессии равна $2d$.

6) $a_1 + a_2, a_3 + a_4, a_5 + a_6, ...$
Обозначим n-й член новой последовательности как $b_n = a_{2n-1} + a_{2n}$. Найдем разность $b_{n+1} - b_n$. $b_{n+1} = a_{2(n+1)-1} + a_{2(n+1)} = a_{2n+1} + a_{2n+2}$. Разность равна $b_{n+1} - b_n = (a_{2n+1} + a_{2n+2}) - (a_{2n-1} + a_{2n})$. Сгруппируем слагаемые: $(a_{2n+1} - a_{2n-1}) + (a_{2n+2} - a_{2n})$. Вычислим каждую скобку: $a_{2n+1} - a_{2n-1} = ((2n+1) - (2n-1))d = 2d$. $a_{2n+2} - a_{2n} = ((2n+2) - 2n)d = 2d$. Итоговая разность равна $2d + 2d = 4d$. Разность постоянна, значит, последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ: Да, является. Разность прогрессии равна $4d$.

1026. Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 12, а сумма их квадратов равна 80. Найдите эти числа.

Пусть три искомых числа, образующие арифметическую прогрессию, можно представить в виде $a - d$, $a$, $a + d$, где $a$ — средний член прогрессии, а $d$ — её разность.

По условию задачи, сумма этих трёх чисел равна 12. Составим первое уравнение:

$(a - d) + a + (a + d) = 12$

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

$3a = 12$

$a = \frac{12}{3}$

$a = 4$

Таким образом, средний член прогрессии равен 4.

Также по условию, сумма их квадратов равна 80. Составим второе уравнение:

$(a - d)^2 + a^2 + (a + d)^2 = 80$

Подставим найденное значение $a = 4$ в это уравнение:

$(4 - d)^2 + 4^2 + (4 + d)^2 = 80$

Раскроем квадраты, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы:

$(16 - 8d + d^2) + 16 + (16 + 8d + d^2) = 80$

Упростим выражение:

$16 - 8d + d^2 + 16 + 16 + 8d + d^2 = 80$

$48 + 2d^2 = 80$

Теперь решим это уравнение относительно $d$:

$2d^2 = 80 - 48$

$2d^2 = 32$

$d^2 = 16$

Отсюда находим два возможных значения для разности прогрессии $d$:

$d_1 = 4$ и $d_2 = -4$

Теперь найдём сами числа для каждого из двух случаев.

Случай 1: Если $d = 4$, то числа равны:
Первое число: $a - d = 4 - 4 = 0$
Второе число: $a = 4$
Третье число: $a + d = 4 + 4 = 8$
Получаем прогрессию: 0, 4, 8.

Случай 2: Если $d = -4$, то числа равны:
Первое число: $a - d = 4 - (-4) = 8$
Второе число: $a = 4$
Третье число: $a + d = 4 + (-4) = 0$
Получаем прогрессию: 8, 4, 0.

В обоих случаях мы получили один и тот же набор чисел.

Проверка:
Сумма чисел: $0 + 4 + 8 = 12$.
Сумма квадратов чисел: $0^2 + 4^2 + 8^2 = 0 + 16 + 64 = 80$.
Условия задачи выполнены.

Ответ: искомые числа – 0, 4, 8.

1027. Докажите, что если числа $a$, $b$ и $c$ являются последовательными членами арифметической прогрессии, то значения выражений $a^2 + ab + b^2$, $a^2 + ac + c^2$, $b^2 + bc + c^2$ также являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии.

Пусть числа $a$, $b$ и $c$ являются последовательными членами арифметической прогрессии. По определению арифметической прогрессии, это означает, что существует такое число $d$ (разность прогрессии), что $a = b - d$ и $c = b + d$.

Чтобы доказать, что значения выражений $a^2 + ab + b^2$, $a^2 + ac + c^2$ и $b^2 + bc + c^2$ также являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии, мы должны показать, что разность между вторым и первым выражениями равна разности между третьим и вторым.

Обозначим данные выражения как $X_1$, $X_2$ и $X_3$ и подставим в них выражения для $a$ и $c$ через $b$ и $d$.

Первый член:
$X_1 = a^2 + ab + b^2 = (b-d)^2 + (b-d)b + b^2$
$= (b^2 - 2bd + d^2) + (b^2 - bd) + b^2$
$= 3b^2 - 3bd + d^2$

Второй член:
$X_2 = a^2 + ac + c^2 = (b-d)^2 + (b-d)(b+d) + (b+d)^2$
$= (b^2 - 2bd + d^2) + (b^2 - d^2) + (b^2 + 2bd + d^2)$
$= 3b^2 + d^2$

Третий член:
$X_3 = b^2 + bc + c^2 = b^2 + b(b+d) + (b+d)^2$
$= b^2 + (b^2 + bd) + (b^2 + 2bd + d^2)$
$= 3b^2 + 3bd + d^2$

Теперь найдем разности между соседними членами полученной последовательности $X_1, X_2, X_3$.

Разность между вторым и первым членами:
$X_2 - X_1 = (3b^2 + d^2) - (3b^2 - 3bd + d^2)$
$= 3b^2 + d^2 - 3b^2 + 3bd - d^2$
$= 3bd$

Разность между третьим и вторым членами:
$X_3 - X_2 = (3b^2 + 3bd + d^2) - (3b^2 + d^2)$
$= 3b^2 + 3bd + d^2 - 3b^2 - d^2$
$= 3bd$

Поскольку разности $X_2 - X_1$ и $X_3 - X_2$ равны ($3bd$), это доказывает, что выражения $a^2 + ab + b^2$, $a^2 + ac + c^2$ и $b^2 + bc + c^2$ являются последовательными членами арифметической прогрессии с разностью, равной $3bd$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

1028. Докажите, что если:

1) длины сторон $a$, $b$ и $c$ треугольника образуют арифметическую прогрессию, то $ac = 6Rr$, где $R$ и $r$ — соответственно радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника;

2) длины сторон прямоугольного треугольника образуют арифметическую прогрессию, то её разность равна радиусу вписанной окружности этого треугольника;

3) длины сторон треугольника с углом $120^\circ$ образуют арифметическую прогрессию, то они относятся как $3 : 5 : 7$.

1)

Пусть длины сторон треугольника $a$, $b$ и $c$ образуют арифметическую прогрессию. Без ограничения общности, упорядочим их: $a \le b \le c$. Тогда их можно представить в виде $b-d, b, b+d$ для некоторой разности $d \ge 0$. Таким образом, $a = b-d$ и $c = b+d$.

Характеристическое свойство арифметической прогрессии: $a+c = (b-d) + (b+d) = 2b$.

Используем известные формулы для радиусов вписанной ($r$) и описанной ($R$) окружностей:

$S = pr$ и $S = \frac{abc}{4R}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

Выразим полупериметр $p$ через сторону $b$:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{(a+c)+b}{2} = \frac{2b+b}{2} = \frac{3b}{2}$

Теперь выразим площадь $S$ через $b$ и $r$:

$S = pr = \frac{3b}{2}r$

Приравняем два выражения для площади:

$\frac{abc}{4R} = \frac{3br}{2}$

Поскольку $b$ — длина стороны, $b > 0$, мы можем сократить обе части на $b$:

$\frac{ac}{4R} = \frac{3r}{2}$

Выразим отсюда произведение $ac$:

$ac = \frac{3r}{2} \cdot 4R = 6Rr$

Равенство $ac = 6Rr$ доказано.

Ответ: Равенство $ac = 6Rr$ доказано.

2)

Пусть длины сторон прямоугольного треугольника образуют арифметическую прогрессию с разностью $d > 0$. Обозначим стороны как $a-d, a, a+d$.

В прямоугольном треугольнике наибольшая сторона является гипотенузой. Следовательно, гипотенуза равна $a+d$, а катеты равны $a-d$ и $a$.

По теореме Пифагора:

$(a-d)^2 + a^2 = (a+d)^2$

Раскроем скобки:

$a^2 - 2ad + d^2 + a^2 = a^2 + 2ad + d^2$

Упростим выражение:

$2a^2 - 2ad + d^2 = a^2 + 2ad + d^2$

$a^2 - 4ad = 0$

$a(a - 4d) = 0$

Поскольку $a$ — это длина стороны, $a > 0$. Значит, $a - 4d = 0$, откуда $a = 4d$.

Теперь найдем длины сторон треугольника, выразив их через $d$:

• Первый катет: $a-d = 4d-d = 3d$
• Второй катет: $a = 4d$
• Гипотенуза: $a+d = 4d+d = 5d$

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности $r$ можно найти по формуле $r = \frac{\text{катет}_1 + \text{катет}_2 - \text{гипотенуза}}{2}$.

Подставим наши значения:

$r = \frac{3d + 4d - 5d}{2} = \frac{2d}{2} = d$

Таким образом, разность арифметической прогрессии $d$ равна радиусу вписанной окружности $r$.

Ответ: Разность прогрессии равна радиусу вписанной окружности этого треугольника.

3)

Пусть длины сторон треугольника $x, y, z$ образуют арифметическую прогрессию с разностью $d > 0$. Обозначим их как $a-d, a, a+d$.

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Угол $120^\circ$ является тупым, и, следовательно, наибольшим в треугольнике. Значит, он лежит против наибольшей стороны, равной $a+d$.

Применим теорему косинусов. Пусть $x = a-d$, $y = a$, $z = a+d$, а угол, противолежащий стороне $z$, равен $\gamma = 120^\circ$.

$z^2 = x^2 + y^2 - 2xy \cos(\gamma)$

Подставим наши значения:

$(a+d)^2 = (a-d)^2 + a^2 - 2(a-d)a \cos(120^\circ)$

Зная, что $\cos(120^\circ) = -1/2$, получаем:

$(a+d)^2 = (a-d)^2 + a^2 - 2(a-d)a \left(-\frac{1}{2}\right)$

$(a+d)^2 = (a-d)^2 + a^2 + a(a-d)$

Раскроем скобки и упростим:

$a^2 + 2ad + d^2 = a^2 - 2ad + d^2 + a^2 + a^2 - ad$

$a^2 + 2ad + d^2 = 3a^2 - 3ad + d^2$

Перенесем члены уравнения:

$2ad + 3ad = 3a^2 - a^2$

$5ad = 2a^2$

Поскольку $a$ — это длина стороны, $a > 0$, мы можем разделить обе части на $a$:

$5d = 2a \implies a = \frac{5}{2}d$

Теперь найдем длины сторон через $d$:

• Первая сторона: $x = a-d = \frac{5}{2}d - d = \frac{3}{2}d$
• Вторая сторона: $y = a = \frac{5}{2}d$
• Третья сторона: $z = a+d = \frac{5}{2}d + d = \frac{7}{2}d$

Найдем отношение длин сторон:

$x:y:z = \frac{3}{2}d : \frac{5}{2}d : \frac{7}{2}d$

Сократив на общий множитель $\frac{d}{2}$, получим:

$3:5:7$

Ответ: Длины сторон треугольника относятся как 3:5:7.

1029. Найдите сумму n первых членов последовательности:

1) $\frac{a-1}{a}, \frac{a-3}{a}, \frac{a-5}{a}, \ldots$

2) $\frac{a-b}{a+b}, \frac{3a-b}{a+b}, \frac{5a-b}{a+b}, \ldots$

1)

Данная последовательность $x_n$, где $x_1 = \frac{a-1}{a}$, $x_2 = \frac{a-3}{a}$, $x_3 = \frac{a-5}{a}$, и так далее, является арифметической прогрессией. Чтобы это доказать, найдем разность $d$ между соседними членами: $d = x_2 - x_1 = \frac{a-3}{a} - \frac{a-1}{a} = \frac{a-3-(a-1)}{a} = \frac{a-3-a+1}{a} = -\frac{2}{a}$. Разность постоянна, следовательно, это арифметическая прогрессия с первым членом $x_1 = \frac{a-1}{a}$ и разностью $d = -\frac{2}{a}$. Сумма $n$ первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: $S_n = \frac{2x_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$. Подставим значения $x_1$ и $d$ в формулу: $S_n = \frac{2 \cdot \frac{a-1}{a} + (-\frac{2}{a})(n-1)}{2} \cdot n = \frac{\frac{2(a-1)}{a} - \frac{2(n-1)}{a}}{2} \cdot n$. Упростим полученное выражение: $S_n = \frac{\frac{2a-2-2n+2}{a}}{2} \cdot n = \frac{\frac{2a-2n}{a}}{2} \cdot n = \frac{2(a-n)}{2a} \cdot n = \frac{n(a-n)}{a}$.

Ответ: $S_n = \frac{n(a-n)}{a}$.

2)

Данная последовательность $y_n$, где $y_1 = \frac{a-b}{a+b}$, $y_2 = \frac{3a-b}{a+b}$, $y_3 = \frac{5a-b}{a+b}$, и так далее, является арифметической прогрессией. Найдем разность $d$ между соседними членами: $d = y_2 - y_1 = \frac{3a-b}{a+b} - \frac{a-b}{a+b} = \frac{3a-b-(a-b)}{a+b} = \frac{3a-b-a+b}{a+b} = \frac{2a}{a+b}$. Разность постоянна, следовательно, это арифметическая прогрессия с первым членом $y_1 = \frac{a-b}{a+b}$ и разностью $d = \frac{2a}{a+b}$. Сумма $n$ первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: $S_n = \frac{2y_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$. Подставим значения $y_1$ и $d$ в формулу: $S_n = \frac{2 \cdot \frac{a-b}{a+b} + \frac{2a}{a+b}(n-1)}{2} \cdot n = \frac{\frac{2(a-b) + 2a(n-1)}{a+b}}{2} \cdot n$. Упростим полученное выражение: $S_n = \frac{\frac{2a-2b+2an-2a}{a+b}}{2} \cdot n = \frac{\frac{2an-2b}{a+b}}{2} \cdot n = \frac{2(an-b)}{2(a+b)} \cdot n = \frac{n(an-b)}{a+b}$.

Ответ: $S_n = \frac{n(an-b)}{a+b}$.

1030. Третий член арифметической прогрессии равен 11, а седьмой равен 27. Сколько надо взять членов этой прогрессии, чтобы их сумма была равной 253?

Пусть данная арифметическая прогрессия обозначается как $a_n$. По условию задачи, ее третий член $a_3 = 11$, а седьмой член $a_7 = 27$.

Для нахождения первого члена прогрессии $a_1$ и ее разности $d$ воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Составим систему уравнений на основе данных задачи:

$ \begin{cases} a_3 = a_1 + (3-1)d = 11 \\ a_7 = a_1 + (7-1)d = 27 \end{cases} \implies \begin{cases} a_1 + 2d = 11 \\ a_1 + 6d = 27 \end{cases} $

Для решения системы вычтем первое уравнение из второго. Это позволит нам найти разность прогрессии $d$:
$(a_1 + 6d) - (a_1 + 2d) = 27 - 11$
$4d = 16$
$d = 4$

Теперь, зная разность $d=4$, подставим ее значение в первое уравнение ($a_1 + 2d = 11$) для нахождения первого члена $a_1$:
$a_1 + 2 \cdot 4 = 11$
$a_1 + 8 = 11$
$a_1 = 3$

Мы определили, что первый член прогрессии $a_1=3$ и ее разность $d=4$.

Следующим шагом является нахождение количества членов прогрессии $n$, сумма которых $S_n$ равна 253. Для этого используется формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$

Подставим в формулу известные значения $S_n=253$, $a_1=3$ и $d=4$:
$253 = \frac{2 \cdot 3 + (n-1) \cdot 4}{2} \cdot n$

Теперь необходимо решить полученное уравнение относительно $n$:
$253 = \frac{6 + 4n - 4}{2} \cdot n$
$253 = \frac{4n + 2}{2} \cdot n$
$253 = (2n + 1) \cdot n$
$2n^2 + n = 253$
$2n^2 + n - 253 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Решим его, найдя дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-253) = 1 + 2024 = 2025$
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{2025} = 45$.

Найдем корни уравнения для $n$ по формуле $n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$n_1 = \frac{-1 + 45}{2 \cdot 2} = \frac{44}{4} = 11$
$n_2 = \frac{-1 - 45}{2 \cdot 2} = \frac{-46}{4} = -11.5$

Поскольку количество членов прогрессии $n$ является натуральным числом, отрицательный дробный корень $n_2 = -11.5$ не может быть решением задачи. Таким образом, подходит только $n_1 = 11$.

Ответ: 11