Номер 1024, страница 280 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1024.Длины сторон прямоугольного треугольника образуют арифметическую прогрессию. Найдите катеты треугольника, если его гипотенуза равна 4 см.

Пусть длины сторон прямоугольного треугольника, образующие арифметическую прогрессию, равны $a_1, a_2, a_3$. В прямоугольном треугольнике гипотенуза является самой длинной стороной. Удобно представить стороны в виде $x-d$, $x$ и $x+d$, где $d$ — разность прогрессии ($d>0$). Тогда $x-d$ и $x$ — это катеты, а $x+d$ — гипотенуза.

По условию задачи, длина гипотенузы равна 4 см, следовательно, мы имеем первое уравнение:

$x+d = 4$

Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Запишем это утверждение для наших сторон, чтобы получить второе уравнение:

$(x-d)^2 + x^2 = (x+d)^2$

Теперь решим это уравнение. Раскроем скобки:

$x^2 - 2xd + d^2 + x^2 = x^2 + 2xd + d^2$

Упростим выражение, сократив одинаковые члены ($x^2$ и $d^2$) с обеих сторон:

$x^2 - 2xd = 2xd$

Перенесем все члены с $x$ в одну сторону:

$x^2 = 4xd$

Поскольку $x$ — это длина стороны треугольника, $x$ не может быть равно нулю ($x>0$). Поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $x$:

$x = 4d$

Теперь у нас есть система из двух простых линейных уравнений:

$x + d = 4$
$x = 4d$

Подставим выражение для $x$ из второго уравнения в первое:

$4d + d = 4$

$5d = 4$

$d = \frac{4}{5} = 0.8$

Зная разность прогрессии $d$, найдем $x$:

$x = 4d = 4 \cdot 0.8 = 3.2$

Теперь мы можем определить длины катетов. Катеты — это стороны $x-d$ и $x$.

Длина первого катета: $x - d = 3.2 - 0.8 = 2.4$ см.

Длина второго катета: $x = 3.2$ см.

Проверка: гипотенуза равна $x+d = 3.2 + 0.8 = 4$ см, что соответствует условию. Катеты 2,4 см и 3,2 см, гипотенуза 4 см. $(2.4)^2 + (3.2)^2 = 5.76 + 10.24 = 16 = 4^2$. Все верно.

Ответ: катеты треугольника равны 2,4 см и 3,2 см.