Номер 1029, страница 280 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1029. Найдите сумму n первых членов последовательности:

1) $\frac{a-1}{a}, \frac{a-3}{a}, \frac{a-5}{a}, \ldots$

2) $\frac{a-b}{a+b}, \frac{3a-b}{a+b}, \frac{5a-b}{a+b}, \ldots$

1)

Данная последовательность $x_n$, где $x_1 = \frac{a-1}{a}$, $x_2 = \frac{a-3}{a}$, $x_3 = \frac{a-5}{a}$, и так далее, является арифметической прогрессией. Чтобы это доказать, найдем разность $d$ между соседними членами: $d = x_2 - x_1 = \frac{a-3}{a} - \frac{a-1}{a} = \frac{a-3-(a-1)}{a} = \frac{a-3-a+1}{a} = -\frac{2}{a}$. Разность постоянна, следовательно, это арифметическая прогрессия с первым членом $x_1 = \frac{a-1}{a}$ и разностью $d = -\frac{2}{a}$. Сумма $n$ первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: $S_n = \frac{2x_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$. Подставим значения $x_1$ и $d$ в формулу: $S_n = \frac{2 \cdot \frac{a-1}{a} + (-\frac{2}{a})(n-1)}{2} \cdot n = \frac{\frac{2(a-1)}{a} - \frac{2(n-1)}{a}}{2} \cdot n$. Упростим полученное выражение: $S_n = \frac{\frac{2a-2-2n+2}{a}}{2} \cdot n = \frac{\frac{2a-2n}{a}}{2} \cdot n = \frac{2(a-n)}{2a} \cdot n = \frac{n(a-n)}{a}$.

Ответ: $S_n = \frac{n(a-n)}{a}$.

2)

Данная последовательность $y_n$, где $y_1 = \frac{a-b}{a+b}$, $y_2 = \frac{3a-b}{a+b}$, $y_3 = \frac{5a-b}{a+b}$, и так далее, является арифметической прогрессией. Найдем разность $d$ между соседними членами: $d = y_2 - y_1 = \frac{3a-b}{a+b} - \frac{a-b}{a+b} = \frac{3a-b-(a-b)}{a+b} = \frac{3a-b-a+b}{a+b} = \frac{2a}{a+b}$. Разность постоянна, следовательно, это арифметическая прогрессия с первым членом $y_1 = \frac{a-b}{a+b}$ и разностью $d = \frac{2a}{a+b}$. Сумма $n$ первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: $S_n = \frac{2y_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$. Подставим значения $y_1$ и $d$ в формулу: $S_n = \frac{2 \cdot \frac{a-b}{a+b} + \frac{2a}{a+b}(n-1)}{2} \cdot n = \frac{\frac{2(a-b) + 2a(n-1)}{a+b}}{2} \cdot n$. Упростим полученное выражение: $S_n = \frac{\frac{2a-2b+2an-2a}{a+b}}{2} \cdot n = \frac{\frac{2an-2b}{a+b}}{2} \cdot n = \frac{2(an-b)}{2(a+b)} \cdot n = \frac{n(an-b)}{a+b}$.

Ответ: $S_n = \frac{n(an-b)}{a+b}$.