Номер 1036, страница 281 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1036. Чему равна сумма всех двузначных чисел, которые не делятся нацело ни на 3, ни на 5?

Для решения этой задачи мы найдем сумму всех двузначных чисел, а затем, используя принцип включений-исключений, вычтем из нее сумму всех двузначных чисел, которые делятся на 3 или на 5.

1. Сумма всех двузначных чисел

Двузначные числа образуют арифметическую прогрессию от 10 до 99. Найдем их сумму по формуле суммы арифметической прогрессии $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
Первый член прогрессии $a_1 = 10$.
Последний член прогрессии $a_n = 99$.
Количество двузначных чисел $n = 99 - 10 + 1 = 90$.
Сумма всех двузначных чисел ($S_{всех}$):
$S_{всех} = \frac{10 + 99}{2} \cdot 90 = \frac{109}{2} \cdot 90 = 109 \cdot 45 = 4905$.

2. Сумма двузначных чисел, делящихся на 3

Эти числа (12, 15, ..., 99) также образуют арифметическую прогрессию.
Первый член $a_1 = 12$, последний член $a_n = 99$.
Количество членов $n_3 = \frac{99 - 12}{3} + 1 = \frac{87}{3} + 1 = 29 + 1 = 30$.
Сумма этих чисел ($S_3$):
$S_3 = \frac{12 + 99}{2} \cdot 30 = \frac{111}{2} \cdot 30 = 111 \cdot 15 = 1665$.

3. Сумма двузначных чисел, делящихся на 5

Это арифметическая прогрессия от 10 до 95.
Первый член $a_1 = 10$, последний член $a_n = 95$.
Количество членов $n_5 = \frac{95 - 10}{5} + 1 = \frac{85}{5} + 1 = 17 + 1 = 18$.
Сумма этих чисел ($S_5$):
$S_5 = \frac{10 + 95}{2} \cdot 18 = \frac{105}{2} \cdot 18 = 105 \cdot 9 = 945$.

4. Сумма двузначных чисел, делящихся на 3 и на 5 (т.е. на 15)

Числа, которые делятся одновременно и на 3, и на 5, делятся на их наименьшее общее кратное, то есть на 15. Эти числа (15, 30, ..., 90) были посчитаны дважды (в $S_3$ и в $S_5$), поэтому их сумму нужно вычесть.
Первый член $a_1 = 15$, последний член $a_n = 90$.
Количество членов $n_{15} = \frac{90 - 15}{15} + 1 = \frac{75}{15} + 1 = 5 + 1 = 6$.
Сумма этих чисел ($S_{15}$):
$S_{15} = \frac{15 + 90}{2} \cdot 6 = \frac{105}{2} \cdot 6 = 105 \cdot 3 = 315$.

5. Итоговый расчет

Сумма всех двузначных чисел, которые делятся на 3 или на 5, равна:
$S_{3 \text{ или } 5} = S_3 + S_5 - S_{15} = 1665 + 945 - 315 = 2610 - 315 = 2295$.
Чтобы найти сумму чисел, которые не делятся ни на 3, ни на 5, вычтем полученную сумму из общей суммы всех двузначных чисел:
$S_{искомая} = S_{всех} - S_{3 \text{ или } 5} = 4905 - 2295 = 2610$.

Ответ: 2610.