Номер 1034, страница 281 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1034. Длины сторон прямоугольного треугольника образуют арифметическую прогрессию, а его меньший катет равен $a$. Найдите площадь треугольника.

Пусть длины сторон прямоугольного треугольника образуют арифметическую прогрессию с разностью $d$. Поскольку длины сторон должны быть положительными, а прогрессия возрастающей (так как стороны разные), то $d > 0$. В прямоугольном треугольнике гипотенуза является самой длинной стороной. Обозначим длины сторон в порядке возрастания.

По условию, меньший катет равен $a$. Это наименьшая сторона треугольника. Тогда стороны треугольника можно записать как $a$, $a+d$ и $a+2d$.

Таким образом, катеты равны $a$ и $a+d$, а гипотенуза равна $a+2d$.

Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $a^2 + (a+d)^2 = (a+2d)^2$

Раскроем скобки в уравнении, чтобы найти значение $d$: $a^2 + a^2 + 2ad + d^2 = a^2 + 4ad + 4d^2$

Приведем подобные слагаемые: $2a^2 + 2ad + d^2 = a^2 + 4ad + 4d^2$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение относительно $d$: $0 = (a^2 - 2a^2) + (4ad - 2ad) + (4d^2 - d^2)$ $0 = -a^2 + 2ad + 3d^2$ Или, в стандартном виде: $3d^2 + 2ad - a^2 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $d$, используя формулу для корней: $D = (2a)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-a^2) = 4a^2 + 12a^2 = 16a^2$ $d = \frac{-2a \pm \sqrt{16a^2}}{2 \cdot 3} = \frac{-2a \pm 4a}{6}$

Получаем два возможных значения для разности прогрессии $d$: $d_1 = \frac{-2a + 4a}{6} = \frac{2a}{6} = \frac{a}{3}$ $d_2 = \frac{-2a - 4a}{6} = \frac{-6a}{6} = -a$

Так как мы ищем возрастающую прогрессию длин сторон ($d>0$), а также $a$ является длиной и $a > 0$, то единственным подходящим решением является $d = \frac{a}{3}$. (При $d=-a$ второй катет имел бы длину $a+(-a)=0$, что невозможно).

Теперь найдем длины обоих катетов:

• Меньший катет: $a$
• Больший катет: $a+d = a + \frac{a}{3} = \frac{4a}{3}$

Площадь прямоугольного треугольника $S$ вычисляется как половина произведения его катетов: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \left(\frac{4a}{3}\right) = \frac{4a^2}{6} = \frac{2a^2}{3}$

Ответ: $\frac{2a^2}{3}$