Номер 1033, страница 281 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1033. Чему равна сумма семнадцати первых членов арифметической прогрессии, если её девятый член равен 15?

Для решения этой задачи воспользуемся формулами для арифметической прогрессии. Пусть $a_n$ - n-й член арифметической прогрессии, $d$ - ее разность, а $S_n$ - сумма ее первых $n$ членов.

Формула для n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

По условию задачи, девятый член прогрессии $a_9$ равен 15. Используя формулу, можем записать:

$a_9 = a_1 + (9-1)d = a_1 + 8d = 15$.

Нам необходимо найти сумму семнадцати первых членов прогрессии, $S_{17}$. Формула для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.

Подставим $n=17$ в эту формулу:

$S_{17} = \frac{2a_1 + (17-1)d}{2} \cdot 17 = \frac{2a_1 + 16d}{2} \cdot 17$.

В числителе дроби можно вынести за скобки общий множитель 2:

$S_{17} = \frac{2(a_1 + 8d)}{2} \cdot 17$.

Сократив на 2, получим:

$S_{17} = (a_1 + 8d) \cdot 17$.

Как мы установили ранее, выражение в скобках $a_1 + 8d$ равно девятому члену прогрессии, то есть 15. Подставим это значение в формулу для суммы:

$S_{17} = 15 \cdot 17$.

Выполним умножение:

$15 \cdot 17 = 255$.

Альтернативный способ:

Можно использовать свойство суммы арифметической прогрессии с нечетным числом членов. Если количество членов $n$ нечетно, то сумма $S_n$ равна произведению центрального члена на количество членов. Центральным является член с номером $k = \frac{n+1}{2}$.

В нашем случае $n=17$, это нечетное число. Номер центрального члена: $k = \frac{17+1}{2} = 9$. То есть, центральный член - это $a_9$.

Тогда сумму можно найти по формуле: $S_{17} = a_9 \cdot 17$.

Так как по условию $a_9 = 15$, получаем:

$S_{17} = 15 \cdot 17 = 255$.

Ответ: 255