Номер 1032, страница 281 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1032. Сумма трёх первых членов арифметической прогрессии равна 3, сумма четырёх первых членов равна 16, а сумма всех членов равна 220.

Найдите количество членов этой прогрессии.

Пусть $a_1$ — первый член арифметической прогрессии, $d$ — её разность, а $n$ — количество членов. Сумма первых $k$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле $S_k = \frac{2a_1 + d(k-1)}{2}k$.

По условию задачи нам дано:

• Сумма трёх первых членов: $S_3 = 3$
• Сумма четырёх первых членов: $S_4 = 16$
• Сумма всех членов: $S_n = 220$

1. Найдем первый член и разность прогрессии.

Сумма четырех первых членов равна сумме трех первых членов плюс четвертый член: $S_4 = S_3 + a_4$.
Отсюда мы можем найти четвертый член прогрессии:
$a_4 = S_4 - S_3 = 16 - 3 = 13$.

Теперь воспользуемся формулой для суммы первых членов, чтобы составить систему уравнений.
Для $S_3=3$:

$S_3 = \frac{2a_1 + d(3-1)}{2} \cdot 3 = \frac{2a_1 + 2d}{2} \cdot 3 = (a_1 + d) \cdot 3 = 3$.
Отсюда получаем первое уравнение: $a_1 + d = 1$.

Для $S_4=16$:

$S_4 = \frac{2a_1 + d(4-1)}{2} \cdot 4 = (2a_1 + 3d) \cdot 2 = 16$.
Отсюда получаем второе уравнение: $2a_1 + 3d = 8$.

Решим систему из двух уравнений:

$\begin{cases} a_1 + d = 1 \\ 2a_1 + 3d = 8 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $a_1$: $a_1 = 1 - d$.
Подставим это выражение во второе уравнение:

$2(1 - d) + 3d = 8$
$2 - 2d + 3d = 8$
$d = 8 - 2$
$d = 6$

Теперь найдем $a_1$, подставив значение $d$ в выражение $a_1 = 1 - d$:

$a_1 = 1 - 6 = -5$.

Итак, мы нашли первый член прогрессии $a_1 = -5$ и ее разность $d = 6$.

2. Найдем количество членов прогрессии.

Мы знаем, что сумма всех $n$ членов прогрессии $S_n = 220$. Воспользуемся формулой суммы, подставив в нее найденные значения $a_1$ и $d$:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$
$220 = \frac{2(-5) + 6(n-1)}{2} \cdot n$
$220 = \frac{-10 + 6n - 6}{2} \cdot n$
$220 = \frac{6n - 16}{2} \cdot n$
$220 = (3n - 8) \cdot n$
$3n^2 - 8n - 220 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно $n$. Решим его, используя формулу для корней квадратного уравнения $n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.

Найдем дискриминант:
$\Delta = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-220) = 64 + 12 \cdot 220 = 64 + 2640 = 2704$.
$\sqrt{\Delta} = \sqrt{2704} = 52$.

Найдем корни уравнения:

$n_1 = \frac{-(-8) + 52}{2 \cdot 3} = \frac{8 + 52}{6} = \frac{60}{6} = 10$.

$n_2 = \frac{-(-8) - 52}{2 \cdot 3} = \frac{8 - 52}{6} = \frac{-44}{6}$.

Поскольку количество членов прогрессии $n$ должно быть натуральным числом, корень $n_2$ не является решением задачи. Следовательно, количество членов прогрессии равно 10.

Ответ: 10.