Номер 1031, страница 281 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1031. Пусть $S_n$ — сумма $n$ первых членов арифметической прогрессии $(a_n)$.

Найдите первый член и разность прогрессии, если:

1) $a_3 + a_5 + a_8 = 18$ и $a_2 + a_4 = -2;$

2) $a_5 - a_3 = -4$ и $a_2 a_4 = -3;$

3) $a_2 + a_4 + a_6 = 36$ и $a_2 a_3 = 54;$

4) $S_5 - S_2 - a_5 = 0,1$ и $a_7 + S_4 = 0,1;$

5) $S_4 = 9$ и $S_6 = 22,5.$

1) Даны условия: $a_3 + a_5 + a_8 = 18$ и $a_2 + a_4 = -2$.

Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член, а $d$ — разность прогрессии.

Выразим все члены, входящие в условия, через $a_1$ и $d$ и подставим в данные уравнения.

Первое уравнение: $a_3 + a_5 + a_8 = 18$

$(a_1 + 2d) + (a_1 + 4d) + (a_1 + 7d) = 18$

$3a_1 + 13d = 18$

Второе уравнение: $a_2 + a_4 = -2$

$(a_1 + d) + (a_1 + 3d) = -2$

$2a_1 + 4d = -2$

Разделим второе уравнение на 2: $a_1 + 2d = -1$

Получили систему из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} 3a_1 + 13d = 18 \\ a_1 + 2d = -1 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $a_1$: $a_1 = -1 - 2d$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$3(-1 - 2d) + 13d = 18$

$-3 - 6d + 13d = 18$

$7d = 21$

$d = 3$

Теперь найдем $a_1$, подставив значение $d$ в выражение для $a_1$:

$a_1 = -1 - 2(3) = -1 - 6 = -7$

Ответ: первый член $a_1 = -7$, разность $d = 3$.

2) Даны условия: $a_5 - a_3 = -4$ и $a_2 a_4 = -3$.

Используем формулу $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Из первого уравнения: $a_5 - a_3 = -4$

$(a_1 + 4d) - (a_1 + 2d) = -4$

$2d = -4$

$d = -2$

Подставим найденное значение $d$ во второе уравнение: $a_2 a_4 = -3$.

$(a_1 + d)(a_1 + 3d) = -3$

$(a_1 - 2)(a_1 + 3(-2)) = -3$

$(a_1 - 2)(a_1 - 6) = -3$

$a_1^2 - 6a_1 - 2a_1 + 12 = -3$

$a_1^2 - 8a_1 + 15 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $a_1$. Решим его. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а произведение равно 15. Корни: $a_1 = 3$ и $a_1 = 5$.

Таким образом, существуют две возможные прогрессии:

1. Первый член $a_1 = 3$ и разность $d = -2$.

2. Первый член $a_1 = 5$ и разность $d = -2$.

Ответ: $a_1 = 3, d = -2$ или $a_1 = 5, d = -2$.

3) Даны условия: $a_2 + a_4 + a_6 = 36$ и $a_2 a_3 = 54$.

Используя свойство арифметической прогрессии $a_k + a_m = a_p + a_q$, если $k+m=p+q$, заметим, что $a_2 + a_6 = 2a_4$. Подставим это в первое уравнение:

$2a_4 + a_4 = 36 \implies 3a_4 = 36 \implies a_4 = 12$.

Так как $a_4 = a_1 + 3d$, получаем: $a_1 + 3d = 12$, откуда $a_1 = 12 - 3d$.

Теперь используем второе уравнение: $a_2 a_3 = 54$.

$(a_1 + d)(a_1 + 2d) = 54$

Подставим выражение для $a_1$:

$( (12 - 3d) + d ) ( (12 - 3d) + 2d ) = 54$

$(12 - 2d)(12 - d) = 54$

$144 - 12d - 24d + 2d^2 = 54$

$2d^2 - 36d + 90 = 0$

Разделим уравнение на 2: $d^2 - 18d + 45 = 0$.

Решим квадратное уравнение для $d$. По теореме Виета, корни $d = 3$ и $d = 15$.

Рассмотрим оба случая:

1. Если $d = 3$, то $a_1 = 12 - 3(3) = 12 - 9 = 3$.

2. Если $d = 15$, то $a_1 = 12 - 3(15) = 12 - 45 = -33$.

Ответ: $a_1 = 3, d = 3$ или $a_1 = -33, d = 15$.

4) Даны условия: $S_5 - S_2 - a_5 = 0.1$ и $a_7 + S_4 = 0.1$.

Упростим первое уравнение. $S_5 - S_2$ — это сумма членов с третьего по пятый: $a_3 + a_4 + a_5$.

$(a_3 + a_4 + a_5) - a_5 = 0.1 \implies a_3 + a_4 = 0.1$.

Выразим через $a_1$ и $d$: $(a_1 + 2d) + (a_1 + 3d) = 0.1 \implies 2a_1 + 5d = 0.1$.

Теперь рассмотрим второе уравнение: $a_7 + S_4 = 0.1$.

Воспользуемся формулами $a_n = a_1 + (n-1)d$ и $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.

$a_7 = a_1 + 6d$

$S_4 = \frac{2a_1 + (4-1)d}{2} \cdot 4 = (2a_1 + 3d) \cdot 2 = 4a_1 + 6d$

Подставим в уравнение:

$(a_1 + 6d) + (4a_1 + 6d) = 0.1 \implies 5a_1 + 12d = 0.1$.

Получили систему уравнений:

$\begin{cases} 2a_1 + 5d = 0.1 \\ 5a_1 + 12d = 0.1 \end{cases}$

Умножим первое уравнение на 5, а второе на 2:

$\begin{cases} 10a_1 + 25d = 0.5 \\ 10a_1 + 24d = 0.2 \end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого: $(10a_1 + 25d) - (10a_1 + 24d) = 0.5 - 0.2 \implies d = 0.3$.

Подставим $d=0.3$ в первое исходное уравнение: $2a_1 + 5(0.3) = 0.1 \implies 2a_1 + 1.5 = 0.1 \implies 2a_1 = -1.4 \implies a_1 = -0.7$.

Ответ: первый член $a_1 = -0.7$, разность $d = 0.3$.

5) Даны условия: $S_4 = 9$ и $S_6 = 22.5$.

Используем формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.

Для $S_4 = 9$:

$\frac{2a_1 + (4-1)d}{2} \cdot 4 = 9 \implies (2a_1 + 3d) \cdot 2 = 9 \implies 4a_1 + 6d = 9$.

Для $S_6 = 22.5$:

$\frac{2a_1 + (6-1)d}{2} \cdot 6 = 22.5 \implies (2a_1 + 5d) \cdot 3 = 22.5 \implies 6a_1 + 15d = 22.5$.

Получили систему уравнений:

$\begin{cases} 4a_1 + 6d = 9 \\ 6a_1 + 15d = 22.5 \end{cases}$

Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2, чтобы коэффициенты при $a_1$ стали равны:

$\begin{cases} 12a_1 + 18d = 27 \\ 12a_1 + 30d = 45 \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго:

$(12a_1 + 30d) - (12a_1 + 18d) = 45 - 27$

$12d = 18 \implies d = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} = 1.5$.

Подставим $d = 1.5$ в первое уравнение системы $4a_1 + 6d = 9$:

$4a_1 + 6(1.5) = 9 \implies 4a_1 + 9 = 9 \implies 4a_1 = 0 \implies a_1 = 0$.

Ответ: первый член $a_1 = 0$, разность $d = 1.5$.