Номер 1040, страница 281 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1040. Известно, что бесконечная последовательность $b_1, b_2, b_3, ...$ является геометрической прогрессией со знаменателем $q \neq 1$. Является ли геометрической прогрессией последовательность:

1) $b_2, b_4, b_6, ...;$
2) $b_1 + 1, b_2 + 1, b_3 + 1, ...;$
3) $b_1^2, b_2^2, b_3^2, ...;$

4) $-b_1, -b_3, -b_5, ...;$
5) $b_1 + b_2, b_2 + b_3, b_3 + b_4, ...;$
6) $\frac{1}{b_1}, \frac{1}{b_2}, \frac{1}{b_3}, ... ?$

По определению, последовательность является геометрической прогрессией, если отношение любого ее члена к предыдущему является постоянной величиной. Эта величина называется знаменателем прогрессии. Исходная последовательность $b_n$ является геометрической прогрессией со знаменателем $q$, то есть $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ для всех $n \ge 1$. Проверим каждую из предложенных последовательностей.

1) $b_2, b_4, b_6, ...$

Обозначим новую последовательность как $c_n$. Ее n-й член равен $c_n = b_{2n}$. Используя формулу для n-го члена исходной прогрессии, получаем: $c_n = b_1 \cdot q^{2n-1}$.

Найдем отношение $(n+1)$-го члена к n-му члену последовательности $c_n$:

$\frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{b_{2(n+1)}}{b_{2n}} = \frac{b_{2n+2}}{b_{2n}} = \frac{b_1 q^{2n+2-1}}{b_1 q^{2n-1}} = \frac{b_1 q^{2n+1}}{b_1 q^{2n-1}} = q^{(2n+1) - (2n-1)} = q^2$.

Отношение постоянно и равно $q^2$, следовательно, эта последовательность является геометрической прогрессией.

Ответ: да, является геометрической прогрессией со знаменателем $q^2$.

2) $b_1 + 1, b_2 + 1, b_3 + 1, ...$

Обозначим новую последовательность как $c_n$. Ее n-й член равен $c_n = b_n + 1 = b_1 q^{n-1} + 1$.

Найдем отношение второго члена к первому и третьего ко второму:

$\frac{c_2}{c_1} = \frac{b_2+1}{b_1+1} = \frac{b_1 q + 1}{b_1 + 1}$

$\frac{c_3}{c_2} = \frac{b_3+1}{b_2+1} = \frac{b_1 q^2 + 1}{b_1 q + 1}$

Для того чтобы последовательность была геометрической прогрессией, эти отношения должны быть равны для любых $b_1$ и $q \ne 1$. Приравняем их:

$\frac{b_1 q + 1}{b_1 + 1} = \frac{b_1 q^2 + 1}{b_1 q + 1} \Rightarrow (b_1 q + 1)^2 = (b_1 + 1)(b_1 q^2 + 1)$

$b_1^2 q^2 + 2b_1 q + 1 = b_1^2 q^2 + b_1 + b_1 q^2 + 1$

$2b_1 q = b_1 + b_1 q^2$

Если $b_1 \neq 0$, то $2q = 1 + q^2$, что приводит к уравнению $(q-1)^2 = 0$, то есть $q=1$. Но по условию $q \neq 1$. Таким образом, равенство выполняется не для всех прогрессий. Например, для $b_1=1, q=2$ последовательность $2, 4, 8, ...$ становится $3, 5, 9, ...$, что не является геометрической прогрессией, так как $\frac{5}{3} \neq \frac{9}{5}$.

Ответ: нет, в общем случае не является.

3) $b_1^2, b_2^2, b_3^2, ...$

Обозначим новую последовательность как $c_n$, где $c_n = b_n^2$.

Найдем отношение $(n+1)$-го члена к n-му члену:

$\frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{b_{n+1}^2}{b_n^2} = \left(\frac{b_{n+1}}{b_n}\right)^2 = q^2$.

Отношение постоянно и равно $q^2$. Альтернативно, можно записать $n$-й член: $c_n = (b_1 q^{n-1})^2 = b_1^2 (q^2)^{n-1}$. Это формула $n$-го члена геометрической прогрессии с первым членом $b_1^2$ и знаменателем $q^2$.

Ответ: да, является геометрической прогрессией со знаменателем $q^2$.

4) $-b_1, -b_3, -b_5, ...$

Обозначим новую последовательность как $c_n$, где $c_n = -b_{2n-1}$.

$c_n = - (b_1 q^{(2n-1)-1}) = -b_1 q^{2n-2}$.

Найдем отношение $(n+1)$-го члена к n-му члену:

$\frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{-b_{2(n+1)-1}}{-b_{2n-1}} = \frac{b_{2n+1}}{b_{2n-1}} = \frac{b_1 q^{2n+1-1}}{b_1 q^{2n-1-1}} = \frac{b_1 q^{2n}}{b_1 q^{2n-2}} = q^2$.

Отношение постоянно и равно $q^2$, следовательно, эта последовательность является геометрической прогрессией.

Ответ: да, является геометрической прогрессией со знаменателем $q^2$.

5) $b_1 + b_2, b_2 + b_3, b_3 + b_4, ...$

Обозначим новую последовательность как $c_n$, где $c_n = b_n + b_{n+1}$.

Выразим $c_n$ через $b_1$ и $q$: $c_n = b_1 q^{n-1} + b_1 q^n = b_1 q^{n-1}(1+q)$.

Найдем отношение $(n+1)$-го члена к n-му члену:

$\frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{b_{n+1} + b_{n+2}}{b_n + b_{n+1}} = \frac{b_1 q^n(1+q)}{b_1 q^{n-1}(1+q)}$.

Если $b_1 \neq 0$ и $q \neq -1$, то отношение равно $q$. Если $b_1 = 0$ или $q = -1$, то все члены последовательности $c_n$ равны нулю, и она также является геометрической прогрессией. Таким образом, отношение всегда постоянно.

Ответ: да, является геометрической прогрессией со знаменателем $q$.

6) $\frac{1}{b_1}, \frac{1}{b_2}, \frac{1}{b_3}, ...$

Для того чтобы последовательность была определена, необходимо, чтобы $b_n \neq 0$ для всех $n$, что требует $b_1 \neq 0$ и $q \neq 0$.

Обозначим новую последовательность как $c_n$, где $c_n = \frac{1}{b_n}$.

Найдем отношение $(n+1)$-го члена к n-му члену:

$\frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{1/b_{n+1}}{1/b_n} = \frac{b_n}{b_{n+1}} = \frac{1}{q}$.

Отношение постоянно и равно $\frac{1}{q}$. Следовательно, при условии, что все члены $b_n$ ненулевые, последовательность является геометрической прогрессией.

Ответ: да, является геометрической прогрессией со знаменателем $\frac{1}{q}$ (при условии, что $b_n \neq 0$ для всех $n$).