Номер 1041, страница 282 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1041. Найдите первый член бесконечной геометрической прогрессии, если:

1) сумма прогрессии равна 4, а знаменатель равен $\frac{1}{2}$;

2) сумма прогрессии равна $\sqrt{2} + 1$, а знаменатель равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$;

3) сумма прогрессии равна $\frac{16}{3}$, а сумма пяти первых членов равна 5,5.

1) Для нахождения первого члена бесконечной геометрической прогрессии $b_1$ используется формула ее суммы $S = \frac{b_1}{1 - q}$, где $q$ - знаменатель прогрессии. Эта формула применима, если $|q| < 1$. В данном случае $q = \frac{1}{2}$, и условие $|q| < 1$ выполняется.
Выразим первый член $b_1$ из формулы:
$b_1 = S \cdot (1 - q)$
Подставим известные значения: сумма $S = 4$ и знаменатель $q = \frac{1}{2}$.
$b_1 = 4 \cdot (1 - \frac{1}{2}) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$.
Ответ: 2.

2) Аналогично предыдущему пункту, воспользуемся формулой $b_1 = S \cdot (1 - q)$.
Сначала проверим условие сходимости прогрессии: $|q| < 1$.
Здесь $q = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $q \approx \frac{1.414}{2} = 0.707$. Следовательно, $|q| < 1$, и формула суммы применима.
Подставим известные значения: $S = \sqrt{2} + 1$ и $q = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$b_1 = (\sqrt{2} + 1) \cdot (1 - \frac{\sqrt{2}}{2})$
Раскроем скобки:
$b_1 = \sqrt{2} \cdot 1 - \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 \cdot 1 - 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} - \frac{2}{2} + 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$
$b_1 = \sqrt{2} - 1 + 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$
$b_1 = \frac{2\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

3) В этой задаче нам известны сумма бесконечной прогрессии $S = \frac{16}{3}$ и сумма первых пяти ее членов $S_5 = 5,5 = \frac{11}{2}$. Для нахождения $b_1$ сначала нужно определить знаменатель прогрессии $q$.
Формула суммы бесконечной геометрической прогрессии: $S = \frac{b_1}{1 - q}$.
Формула суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$.
Заметим, что $S_n$ можно выразить через $S$: $S_n = S \cdot (1 - q^n)$.
Подставим в это соотношение известные значения $S_5$ и $S$:
$\frac{11}{2} = \frac{16}{3} \cdot (1 - q^5)$
Выразим из этого уравнения скобку $(1 - q^5)$:
$1 - q^5 = \frac{11}{2} \div \frac{16}{3} = \frac{11}{2} \cdot \frac{3}{16} = \frac{33}{32}$
Теперь найдем $q^5$:
$q^5 = 1 - \frac{33}{32} = \frac{32 - 33}{32} = -\frac{1}{32}$
Извлекая корень пятой степени, находим $q$:
$q = \sqrt[5]{-\frac{1}{32}} = -\frac{1}{2}$
Проверим условие сходимости: $|q| = |-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} < 1$. Условие выполняется.
Теперь, зная $q$, мы можем найти $b_1$ из формулы для $S$:
$b_1 = S \cdot (1 - q) = \frac{16}{3} \cdot (1 - (-\frac{1}{2})) = \frac{16}{3} \cdot (1 + \frac{1}{2}) = \frac{16}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{16}{2} = 8$.
Ответ: 8.