Страница 270 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

937. Положительные числа $a, b, c$ и $d$ таковы, что $a > b, d < b$ и $c > a$. Расположите в порядке возрастания числа $\frac{1}{a}$, $\frac{1}{b}$, $\frac{1}{c}$ и $\frac{1}{d}$.

По условию задачи даны четыре положительных числа $a, b, c$ и $d$, для которых выполняются следующие неравенства: $a > b$, $d < b$ и $c > a$. Требуется расположить в порядке возрастания числа $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ и $\frac{1}{d}$.

Для решения этой задачи сначала упорядочим исходные числа $a, b, c, d$.

Из неравенств $a > b$ и $d < b$ можно сделать вывод, что $d$ является наименьшим из этих трех чисел, а $a$ — наибольшим. Таким образом, мы получаем цепочку неравенств: $d < b < a$.

Теперь используем третье условие, $c > a$. Объединяя его с уже имеющейся цепочкой, мы получаем окончательный порядок для всех четырех чисел:

$d < b < a < c$

Далее, нам нужно сравнить обратные этим числам величины: $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ и $\frac{1}{d}$.

Важно помнить, что для любых двух положительных чисел $x$ и $y$, если $x < y$, то их обратные величины будут находиться в обратном соотношении, то есть $\frac{1}{x} > \frac{1}{y}$. Это свойство функции $f(x) = \frac{1}{x}$, которая является убывающей на множестве положительных чисел.

Применим это правило к нашей упорядоченной последовательности $d < b < a < c$. Так как все числа положительные, то при переходе к обратным величинам знаки неравенств изменятся на противоположные:

$\frac{1}{d} > \frac{1}{b} > \frac{1}{a} > \frac{1}{c}$

Это убывающая последовательность. Чтобы получить порядок возрастания, как требуется в задаче, нужно записать эту последовательность в обратном порядке (от наименьшего к наибольшему):

$\frac{1}{c} < \frac{1}{a} < \frac{1}{b} < \frac{1}{d}$

Ответ: $\frac{1}{c}, \frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{d}$.

938. Известно, что $5 < a < 8$. Оцените значение выражения:

1) $0,4a;$

2) $a-3;$

3) $2a+1;$

4) $-3a+2.$

1) 0,4a
Нам дано неравенство $5 < a < 8$. Чтобы оценить значение выражения $0,4a$, нужно умножить все части этого неравенства на $0,4$. Поскольку $0,4$ является положительным числом ($0,4 > 0$), знак неравенства не меняется.
Выполним умножение:
$5 \cdot 0,4 < a \cdot 0,4 < 8 \cdot 0,4$
$2 < 0,4a < 3,2$
Ответ: $2 < 0,4a < 3,2$.

2) a - 3
Используем исходное неравенство $5 < a < 8$. Чтобы оценить выражение $a - 3$, нужно вычесть число 3 из каждой части неравенства. При сложении или вычитании числа знак неравенства не меняется.
Выполним вычитание:
$5 - 3 < a - 3 < 8 - 3$
$2 < a - 3 < 5$
Ответ: $2 < a - 3 < 5$.

3) 2a + 1
Для оценки выражения $2a + 1$, исходя из неравенства $5 < a < 8$, необходимо выполнить два шага.
1. Сначала умножим все части неравенства на 2. Так как $2 > 0$, знак неравенства сохраняется:
$5 \cdot 2 < a \cdot 2 < 8 \cdot 2$
$10 < 2a < 16$
2. Теперь прибавим 1 ко всем частям полученного неравенства:
$10 + 1 < 2a + 1 < 16 + 1$
$11 < 2a + 1 < 17$
Ответ: $11 < 2a + 1 < 17$.

4) -3a + 2
Для оценки выражения $-3a + 2$, исходя из неравенства $5 < a < 8$, также необходимо выполнить два шага.
1. Сначала умножим все части исходного неравенства на -3. Поскольку мы умножаем на отрицательное число ($-3 < 0$), знаки неравенства необходимо поменять на противоположные:
$5 \cdot (-3) > a \cdot (-3) > 8 \cdot (-3)$
$-15 > -3a > -24$
Для удобства записи перепишем это неравенство, расположив числа в порядке возрастания (от меньшего к большему):
$-24 < -3a < -15$
2. Теперь прибавим 2 ко всем частям нового неравенства:
$-24 + 2 < -3a + 2 < -15 + 2$
$-22 < -3a + 2 < -13$
Ответ: $-22 < -3a + 2 < -13$.

939. Известно, что $3,1 < \sqrt{10} < 3,2$. Оцените значение выражения:

1) $2\sqrt{10}$;

2) $-4\sqrt{10}$;

3) $3\sqrt{10}-5$.

1) $2\sqrt{10}$
Нам дано двойное неравенство: $3,1 < \sqrt{10} < 3,2$.
Чтобы оценить значение выражения $2\sqrt{10}$, нужно умножить все части данного неравенства на 2.
Так как 2 — положительное число, знаки неравенства сохраняются:
$3,1 \cdot 2 < \sqrt{10} \cdot 2 < 3,2 \cdot 2$
$6,2 < 2\sqrt{10} < 6,4$
Ответ: $6,2 < 2\sqrt{10} < 6,4$.

2) $-4\sqrt{10}$
Используем исходное неравенство: $3,1 < \sqrt{10} < 3,2$.
Чтобы оценить значение выражения $-4\sqrt{10}$, умножим все части неравенства на -4.
При умножении на отрицательное число (-4) знаки неравенства меняются на противоположные:
$3,1 \cdot (-4) > \sqrt{10} \cdot (-4) > 3,2 \cdot (-4)$
$-12,4 > -4\sqrt{10} > -12,8$
Для удобства записи перепишем неравенство, расположив числа в порядке возрастания (слева направо):
$-12,8 < -4\sqrt{10} < -12,4$
Ответ: $-12,8 < -4\sqrt{10} < -12,4$.

3) $3\sqrt{10} - 5$
Оценка этого выражения выполняется в два шага.
Шаг 1: Оценим $3\sqrt{10}$. Умножим все части исходного неравенства $3,1 < \sqrt{10} < 3,2$ на 3 (положительное число, знаки сохраняются):
$3,1 \cdot 3 < \sqrt{10} \cdot 3 < 3,2 \cdot 3$
$9,3 < 3\sqrt{10} < 9,6$
Шаг 2: Вычтем 5 из всех частей полученного неравенства. При вычитании числа знаки неравенства не меняются:
$9,3 - 5 < 3\sqrt{10} - 5 < 9,6 - 5$
$4,3 < 3\sqrt{10} - 5 < 4,6$
Ответ: $4,3 < 3\sqrt{10} - 5 < 4,6$.

940. Известно, что $3 < m < 4$ и $-3 < n < -2$. Оцените значение выражения:

1) $2m + 3n$;
2) $0,2m - n$;
3) $-5m + 4n$;
4) $m - \frac{m}{n}$.

1) 2m + 3n

Для оценки значения выражения $2m + 3n$, сначала оценим каждое слагаемое в отдельности, используя данные неравенства $3 < m < 4$ и $-3 < n < -2$.

1. Оценим $2m$. Умножим все части неравенства $3 < m < 4$ на положительное число 2. Знак неравенства при этом не изменится.

$2 \cdot 3 < 2 \cdot m < 2 \cdot 4$

$6 < 2m < 8$

2. Оценим $3n$. Умножим все части неравенства $-3 < n < -2$ на положительное число 3. Знак неравенства также не изменится.

$3 \cdot (-3) < 3 \cdot n < 3 \cdot (-2)$

$-9 < 3n < -6$

3. Теперь сложим полученные неравенства. При сложении неравенств одного знака мы складываем их левые, средние и правые части соответственно.

$ \begin{array}{c} + \\ \begin{array}{r@{\,}c@{\,}l} 6 &< 2m <& 8 \\ -9 &< 3n <& -6 \\ \end{array} \\ \hline \begin{array}{r@{\,}c@{\,}l} 6 + (-9) &< 2m + 3n <& 8 + (-6) \\ \end{array} \end{array} $

$-3 < 2m + 3n < 2$

Ответ: $-3 < 2m + 3n < 2$.

2) 0,2m - n

Представим выражение в виде суммы: $0,2m + (-n)$.

1. Оценим $0,2m$. Умножим неравенство $3 < m < 4$ на 0,2:

$0,2 \cdot 3 < 0,2 \cdot m < 0,2 \cdot 4$

$0,6 < 0,2m < 0,8$

2. Оценим $-n$. Для этого умножим неравенство $-3 < n < -2$ на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные.

$(-1) \cdot (-3) > (-1) \cdot n > (-1) \cdot (-2)$

$3 > -n > 2$

Для удобства сложения запишем это неравенство в стандартном виде (от меньшего к большему): $2 < -n < 3$.

3. Сложим неравенства для $0,2m$ и $-n$:

$0,6 + 2 < 0,2m + (-n) < 0,8 + 3$

$2,6 < 0,2m - n < 3,8$

Ответ: $2,6 < 0,2m - n < 3,8$.

3) -5m + 4n

Оценим каждое слагаемое по отдельности.

1. Оценим $-5m$. Умножим неравенство $3 < m < 4$ на -5, меняя знаки неравенства на противоположные:

$(-5) \cdot 3 > (-5) \cdot m > (-5) \cdot 4$

$-15 > -5m > -20$

Запишем в стандартном виде: $-20 < -5m < -15$.

2. Оценим $4n$. Умножим неравенство $-3 < n < -2$ на 4:

$4 \cdot (-3) < 4 \cdot n < 4 \cdot (-2)$

$-12 < 4n < -8$

3. Сложим полученные неравенства:

$-20 + (-12) < -5m + 4n < -15 + (-8)$

$-32 < -5m + 4n < -23$

Ответ: $-32 < -5m + 4n < -23$.

4) m - m/n

Представим выражение в виде суммы $m + (-\frac{m}{n})$.

1. Сначала оценим значение дроби $\frac{m}{n}$. Поскольку $m$ находится в интервале $(3, 4)$ и является положительным, а $n$ в интервале $(-3, -2)$ и является отрицательным, то частное $\frac{m}{n}$ будет отрицательным. Чтобы найти границы для частного, нужно рассмотреть комбинации границ $m$ и $n$. Наименьшее значение частного будет при делении наибольшего $m$ на $n$ с наименьшим модулем (ближайшее к нулю), а наибольшее значение — при делении наименьшего $m$ на $n$ с наибольшим модулем.

Нижняя граница: $\frac{4}{-2} = -2$.

Верхняя граница: $\frac{3}{-3} = -1$.

Таким образом, $-2 < \frac{m}{n} < -1$.

2. Теперь оценим выражение $-\frac{m}{n}$. Умножим неравенство $-2 < \frac{m}{n} < -1$ на -1, меняя знаки:

$(-1) \cdot (-2) > -\frac{m}{n} > (-1) \cdot (-1)$

$2 > -\frac{m}{n} > 1$

Запишем в стандартном виде: $1 < -\frac{m}{n} < 2$.

3. Сложим исходное неравенство для $m$ и полученное неравенство для $-\frac{m}{n}$:

$3 + 1 < m + (-\frac{m}{n}) < 4 + 2$

$4 < m - \frac{m}{n} < 6$

Ответ: $4 < m - \frac{m}{n} < 6$.

941. Решите неравенство:

1) $16 - 4n \ge 8$;

2) $10x > 13x + 6$;

3) $6x + 3 > 5x - 2$;

4) $\frac{4 - 3x}{7} < 1$;

5) $3x + 4 < 5x - 4$;

6) $4x - 7 > 7x - 6$.

1) $16 - 4n \ge 8$

Для решения неравенства перенесем число 16 из левой части в правую, изменив его знак на противоположный:

$-4n \ge 8 - 16$

$-4n \ge -8$

Теперь разделим обе части неравенства на -4. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (в данном случае $\ge$ на $\le$):

$n \le \frac{-8}{-4}$

$n \le 2$

Множество решений можно записать в виде числового промежутка.

Ответ: $n \in (-\infty, 2]$.

2) $10x > 13x + 6$

Перенесем слагаемое $13x$ в левую часть неравенства, изменив его знак:

$10x - 13x > 6$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-3x > 6$

Разделим обе части на -3, изменив знак неравенства с $>$ на <:

$x < \frac{6}{-3}$

$x < -2$

Множество решений в виде числового промежутка.

Ответ: $x \in (-\infty, -2)$.

3) $6x + 3 > 5x - 2$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части, а постоянные члены — в правой. Для этого перенесем $5x$ влево и 3 вправо, изменив их знаки:

$6x - 5x > -2 - 3$

Упростим обе части неравенства:

$x > -5$

Множество решений в виде числового промежутка.

Ответ: $x \in (-5, +\infty)$.

4) $\frac{4 - 3x}{7} < 1$

Умножим обе части неравенства на знаменатель дроби, то есть на 7. Так как 7 — положительное число, знак неравенства не меняется:

$4 - 3x < 7 \cdot 1$

$4 - 3x < 7$

Перенесем 4 в правую часть:

$-3x < 7 - 4$

$-3x < 3$

Разделим обе части на -3, изменив знак неравенства с < на $>$:

$x > \frac{3}{-3}$

$x > -1$

Множество решений в виде числового промежутка.

Ответ: $x \in (-1, +\infty)$.

5) $3x + 4 < 5x - 4$

Сгруппируем слагаемые с $x$ в одной части, а числа — в другой. Перенесем $3x$ вправо, а -4 влево, чтобы коэффициент при $x$ был положительным:

$4 + 4 < 5x - 3x$

Упростим обе части:

$8 < 2x$

Разделим обе части на 2. Знак неравенства не меняется:

$\frac{8}{2} < x$

$4 < x$, что равносильно $x > 4$.

Множество решений в виде числового промежутка.

Ответ: $x \in (4, +\infty)$.

6) $4x - 7 > 7x - 6$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$4x - 7x > -6 + 7$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

$-3x > 1$

Разделим обе части на -3, изменив знак неравенства с $>$ на <:

$x < \frac{1}{-3}$

$x < -\frac{1}{3}$

Множество решений в виде числового промежутка.

Ответ: $x \in (-\infty, -\frac{1}{3})$.

942. Найдите сумму натуральных чисел, принадлежащих области определения функции $y = \sqrt{10 - 3x}$.

Для решения задачи необходимо выполнить три шага: найти область определения функции, выделить из нее натуральные числа и найти их сумму.

1. Нахождение области определения функции

Дана функция $y = \sqrt{10 - 3x}$. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, то есть больше или равно нулю. Составим и решим соответствующее неравенство:

$10 - 3x \geq 0$

Перенесем 10 в правую часть неравенства, изменив знак:

$-3x \geq -10$

Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на -3. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x \leq \frac{-10}{-3}$

$x \leq \frac{10}{3}$

Для удобства преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$x \leq 3\frac{1}{3}$

Таким образом, область определения функции — это промежуток $(-\infty; 3\frac{1}{3}]$.

2. Определение натуральных чисел, принадлежащих области определения

Натуральные числа — это целые положительные числа (1, 2, 3, ...). Нам нужно найти все натуральные числа, которые удовлетворяют условию $x \leq 3\frac{1}{3}$.

Такими числами являются: 1, 2, 3.

Число 4 и все последующие натуральные числа не входят в область определения, так как они больше $3\frac{1}{3}$.

3. Нахождение суммы найденных натуральных чисел

Суммируем натуральные числа, которые принадлежат области определения функции:

$1 + 2 + 3 = 6$

Ответ: 6

943. Дана функция $f(x) = 3x + 12$. При каких значениях аргумента функция принимает:

1) положительные значения;

2) отрицательные значения;

3) значения, принадлежащие промежутку $[-4; 7]$?

Дана функция $f(x) = 3x + 12$.

1) положительные значения;

Чтобы найти, при каких значениях аргумента $x$ функция принимает положительные значения, необходимо решить неравенство $f(x) > 0$.

$3x + 12 > 0$

Перенесем 12 в правую часть неравенства, изменив знак:

$3x > -12$

Разделим обе части неравенства на 3:

$x > -4$

Таким образом, функция принимает положительные значения, когда аргумент $x$ больше -4.

Ответ: при $x \in (-4; +\infty)$.

2) отрицательные значения;

Чтобы найти, при каких значениях аргумента $x$ функция принимает отрицательные значения, необходимо решить неравенство $f(x) < 0$.

$3x + 12 < 0$

Перенесем 12 в правую часть неравенства:

$3x < -12$

Разделим обе части неравенства на 3:

$x < -4$

Таким образом, функция принимает отрицательные значения, когда аргумент $x$ меньше -4.

Ответ: при $x \in (-\infty; -4)$.

3) значения, принадлежащие промежутку [-4; 7]?

Чтобы найти, при каких значениях аргумента $x$ значения функции принадлежат промежутку $[-4; 7]$, необходимо решить двойное неравенство $-4 \le f(x) \le 7$.

$-4 \le 3x + 12 \le 7$

Вычтем 12 из всех частей неравенства:

$-4 - 12 \le 3x + 12 - 12 \le 7 - 12$

$-16 \le 3x \le -5$

Разделим все части неравенства на 3:

$-\frac{16}{3} \le x \le -\frac{5}{3}$

При необходимости можно выделить целую часть: $-5\frac{1}{3} \le x \le -1\frac{2}{3}$.

Следовательно, значения функции принадлежат промежутку $[-4; 7]$, когда аргумент $x$ принадлежит промежутку $[-\frac{16}{3}; -\frac{5}{3}]$.

Ответ: при $x \in [-\frac{16}{3}; -\frac{5}{3}]$.

944. Придумайте неравенство вида $ax + b > 0$, где $x$ – переменная, $a$ и $b$ – некоторые числа, множеством решений которого является:

1) промежуток $(-3; +\infty)$;

2) промежуток $(-\infty; 1,6)$;

3) множество действительных чисел;

4) пустое множество.

Общий вид неравенства: $ax + b > 0$. Решение этого неравенства зависит от коэффициента $a$.

Если $a > 0$, то $ax > -b$, и, разделив на положительное число $a$, получаем $x > -b/a$. Множество решений — промежуток $(-b/a; +\infty)$.

Если $a < 0$, то $ax > -b$, и, разделив на отрицательное число $a$, меняем знак неравенства: $x < -b/a$. Множество решений — промежуток $(-\infty; -b/a)$.

Если $a = 0$, неравенство принимает вид $0 \cdot x + b > 0$, то есть $b > 0$. Если это верное числовое неравенство (т.е. $b$ — положительное число), то решением является любое действительное число. Если это неверное числовое неравенство (т.е. $b \le 0$), то решений нет.

Исходя из этого, подберем коэффициенты $a$ и $b$ для каждого случая.

1) промежуток $(-3; +\infty)$

Требуемое множество решений имеет вид $x > -3$. Это соответствует случаю, когда $a > 0$. Решением неравенства $ax + b > 0$ при $a > 0$ является промежуток $x > -b/a$. Следовательно, нам нужно, чтобы выполнялось равенство: $-b/a = -3$ $b/a = 3$ $b = 3a$ Мы можем выбрать любое положительное значение для $a$. Возьмем, к примеру, $a = 1$. Тогда $b = 3 \cdot 1 = 3$. Подставим эти значения в исходное неравенство: $1 \cdot x + 3 > 0$, что равносильно $x + 3 > 0$. Проверим решение: $x > -3$. Это соответствует заданному промежутку $(-3; +\infty)$.

Ответ: $x + 3 > 0$.

2) промежуток $(-\infty; 1,6)$

Требуемое множество решений имеет вид $x < 1,6$. Это соответствует случаю, когда $a < 0$. Решением неравенства $ax + b > 0$ при $a < 0$ является промежуток $x < -b/a$. Следовательно, нам нужно, чтобы выполнялось равенство: $-b/a = 1,6$ $b/a = -1,6$ $b = -1,6a$ Мы можем выбрать любое отрицательное значение для $a$. Возьмем, к примеру, $a = -1$. Тогда $b = -1,6 \cdot (-1) = 1,6$. Подставим эти значения в исходное неравенство: $-1 \cdot x + 1,6 > 0$, что равносильно $-x + 1,6 > 0$. Проверим решение: $-x > -1,6$. Умножив обе части на $-1$ и поменяв знак, получим $x < 1,6$. Это соответствует заданному промежутку $(-\infty; 1,6)$. Можно также подобрать целые коэффициенты. Например, если взять $a = -5$, то $b = -1,6 \cdot (-5) = 8$. Неравенство будет $-5x + 8 > 0$.

Ответ: $-x + 1,6 > 0$.

3) множество действительных чисел

Чтобы решением неравенства было множество всех действительных чисел, неравенство должно быть верным при любом значении $x$. Это возможно только в том случае, если коэффициент при $x$ равен нулю, то есть $a = 0$. При $a = 0$ неравенство $ax + b > 0$ превращается в $0 \cdot x + b > 0$, или $b > 0$. Чтобы это неравенство было верным для всех $x$, нужно, чтобы числовое неравенство $b > 0$ было истинным. Для этого достаточно выбрать любое положительное число $b$. Возьмем $a = 0$ и, например, $b = 5$. Получаем неравенство $0 \cdot x + 5 > 0$, или $5 > 0$. Это верное числовое неравенство, поэтому оно справедливо для любого действительного $x$.

Ответ: $0 \cdot x + 5 > 0$.

4) пустое множество

Чтобы у неравенства не было решений (решением было пустое множество), оно должно быть неверным при любом значении $x$. Это, как и в предыдущем пункте, возможно только если коэффициент при $x$ равен нулю, то есть $a = 0$. При $a = 0$ неравенство $ax + b > 0$ снова принимает вид $b > 0$. Чтобы это неравенство не имело решений, числовое неравенство $b > 0$ должно быть ложным. Это произойдет, если $b$ будет меньше или равно нулю ($b \le 0$). Возьмем $a = 0$ и, например, $b = -2$. Получаем неравенство $0 \cdot x - 2 > 0$, или $-2 > 0$. Это неверное числовое неравенство, поэтому оно не имеет решений ни при каком значении $x$.

Ответ: $0 \cdot x - 2 > 0$.

945. Найдите множество решений неравенства:

1) $(2x - 3)^2 \le (4x - 1)(x - 2) + 7;$

2) $(x - 2)(2 + x) \ge 2 - (x + 4)(1 - x);$

3) $\frac{1 - x}{2} + 3 < 3x - \frac{2x + 1}{4};$

4) $\frac{3x - 37}{2} - 9 > \frac{7 - 2x}{4} + 2x;$

5) $\frac{5x - 3}{5} \ge \frac{3x + 4}{3} - \frac{29}{15}.$

1) Решим неравенство $(2x - 3)^2 \le (4x - 1)(x - 2) + 7$.
Сначала раскроем скобки в обеих частях. В левой части используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, а в правой — правило умножения многочленов.
$(2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 \le (4x \cdot x + 4x \cdot (-2) - 1 \cdot x - 1 \cdot (-2)) + 7$
$4x^2 - 12x + 9 \le (4x^2 - 8x - x + 2) + 7$
Приведем подобные слагаемые в правой части:
$4x^2 - 12x + 9 \le 4x^2 - 9x + 9$
Теперь упростим неравенство. Вычтем $4x^2$ из обеих частей:
$-12x + 9 \le -9x + 9$
Вычтем 9 из обеих частей:
$-12x \le -9x$
Перенесем все члены с $x$ в правую часть, чтобы коэффициент при $x$ был положительным:
$0 \le -9x + 12x$
$0 \le 3x$
Разделим обе части на 3. Так как 3 — положительное число, знак неравенства сохраняется:
$0 \le x$, что то же самое, что и $x \ge 0$.
Множество решений неравенства — это все числа, большие или равные нулю.
Ответ: $x \in [0, +\infty)$.

2) Решим неравенство $(x - 2)(2 + x) \ge 2 - (x + 4)(1 - x)$.
Раскроем скобки. Левая часть является разностью квадратов: $(x - 2)(x + 2) = x^2 - 4$.
$x^2 - 4 \ge 2 - (x - x^2 + 4 - 4x)$
Приведем подобные в скобках в правой части:
$x^2 - 4 \ge 2 - (-x^2 - 3x + 4)$
Раскроем скобки в правой части:
$x^2 - 4 \ge 2 + x^2 + 3x - 4$
$x^2 - 4 \ge x^2 + 3x - 2$
Вычтем $x^2$ из обеих частей:
$-4 \ge 3x - 2$
Перенесем свободные члены в левую часть, а члены с переменной оставим справа:
$-4 + 2 \ge 3x$
$-2 \ge 3x$
Разделим обе части на 3. Знак неравенства не меняется:
$-\frac{2}{3} \ge x$, что эквивалентно $x \le -\frac{2}{3}$.
Множество решений — это все числа, меньшие или равные $-\frac{2}{3}$.
Ответ: $x \in (-\infty, -2/3]$.

3) Решим неравенство $\frac{1 - x}{2} + 3 < 3x - \frac{2x + 1}{4}$.
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, равный 4.
$4 \cdot \frac{1 - x}{2} + 4 \cdot 3 < 4 \cdot 3x - 4 \cdot \frac{2x + 1}{4}$
$2(1 - x) + 12 < 12x - (2x + 1)$
Раскроем скобки:
$2 - 2x + 12 < 12x - 2x - 1$
Приведем подобные слагаемые в каждой части:
$14 - 2x < 10x - 1$
Соберем члены с $x$ в правой части, а константы — в левой:
$14 + 1 < 10x + 2x$
$15 < 12x$
Разделим обе части на 12:
$\frac{15}{12} < x$
Сократим дробь $\frac{15}{12} = \frac{5}{4}$.
$\frac{5}{4} < x$, или $x > \frac{5}{4}$.
Множество решений — это все числа, строго большие $\frac{5}{4}$.
Ответ: $x \in (5/4, +\infty)$.

4) Решим неравенство $\frac{3x - 37}{2} - 9 > \frac{7 - 2x}{4} + 2x$.
Умножим обе части на наименьший общий знаменатель, равный 4.
$4 \cdot \left(\frac{3x - 37}{2} - 9\right) > 4 \cdot \left(\frac{7 - 2x}{4} + 2x\right)$
$2(3x - 37) - 36 > (7 - 2x) + 8x$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$6x - 74 - 36 > 7 + 6x$
$6x - 110 > 7 + 6x$
Вычтем $6x$ из обеих частей неравенства:
$-110 > 7$
Мы получили неверное числовое неравенство, которое не зависит от $x$. Это означает, что исходное неравенство не имеет решений.
Ответ: решений нет.

5) Решим неравенство $\frac{5x - 3}{5} \ge \frac{3x + 4}{3} - \frac{29}{15}$.
Умножим обе части на наименьший общий знаменатель, равный 15.
$15 \cdot \frac{5x - 3}{5} \ge 15 \cdot \frac{3x + 4}{3} - 15 \cdot \frac{29}{15}$
$3(5x - 3) \ge 5(3x + 4) - 29$
Раскроем скобки:
$15x - 9 \ge 15x + 20 - 29$
Приведем подобные слагаемые в правой части:
$15x - 9 \ge 15x - 9$
Вычтем $15x$ из обеих частей:
$-9 \ge -9$
Мы получили верное числовое неравенство, которое не зависит от $x$. Это означает, что исходное неравенство справедливо для любого действительного значения $x$.
Множеством решений является множество всех действительных чисел.
Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.

946. Чему равно наименьшее целое решение неравенства $ \frac{3x+5}{4} - 1 \leq \frac{x-2}{3} + x? $

Для решения данного неравенства сначала избавимся от знаменателей. Исходное неравенство:

$ \frac{3x + 5}{4} - 1 \leq \frac{x - 2}{3} + x $

Наименьший общий знаменатель для чисел 4 и 3 равен 12. Умножим обе части неравенства на 12, чтобы избавиться от дробей. Знак неравенства при умножении на положительное число не меняется.

$ 12 \cdot \left( \frac{3x + 5}{4} - 1 \right) \leq 12 \cdot \left( \frac{x - 2}{3} + x \right) $

Раскроем скобки в обеих частях:

$ \frac{12(3x + 5)}{4} - 12 \cdot 1 \leq \frac{12(x - 2)}{3} + 12x $

Сократим дроби:

$ 3(3x + 5) - 12 \leq 4(x - 2) + 12x $

Теперь раскроем скобки:

$ 9x + 15 - 12 \leq 4x - 8 + 12x $

Приведем подобные слагаемые в каждой части неравенства:

$ 9x + 3 \leq 16x - 8 $

Перенесем все слагаемые с $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую. Перенесем $9x$ в правую часть, а $-8$ — в левую, изменив их знаки на противоположные:

$ 3 + 8 \leq 16x - 9x $

Упростим обе части:

$ 11 \leq 7x $

Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на 7:

$ \frac{11}{7} \leq x $

Это неравенство можно записать в более привычном виде:

$ x \geq \frac{11}{7} $

Чтобы найти наименьшее целое решение, представим дробь $ \frac{11}{7} $ в виде смешанного числа:

$ \frac{11}{7} = 1\frac{4}{7} $

Таким образом, $ x \geq 1\frac{4}{7} $. Нам нужно найти наименьшее целое число, которое больше или равно $1\frac{4}{7}$. На числовой прямой это будет первое целое число, расположенное правее $1\frac{4}{7}$. Этим числом является 2.

Ответ: 2

947. Чему равно наибольшее целое решение неравенства $\frac{3x+5}{2} < \frac{8-x}{3}$?

Для того чтобы решить неравенство $\frac{3x+5}{2} < \frac{8-x}{3}$, необходимо избавиться от дробей в знаменателе. Для этого умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 2 и 3, то есть на 6. Так как мы умножаем на положительное число, знак неравенства не изменится.

$6 \cdot \frac{3x+5}{2} < 6 \cdot \frac{8-x}{3}$

Выполним сокращение:
$3 \cdot (3x+5) < 2 \cdot (8-x)$

Теперь раскроем скобки в обеих частях:
$9x + 15 < 16 - 2x$

Сгруппируем слагаемые с переменной x в левой части, а свободные члены — в правой. При переносе слагаемых из одной части в другую их знак меняется на противоположный.
$9x + 2x < 16 - 15$

Приведем подобные слагаемые:
$11x < 1$

Разделим обе части неравенства на 11, чтобы найти x:
$x < \frac{1}{11}$

Решением неравенства являются все числа, которые меньше $\frac{1}{11}$. В задаче требуется найти наибольшее целое решение. Значение дроби $\frac{1}{11}$ находится между 0 и 1. Следовательно, целые числа, удовлетворяющие этому неравенству, это 0, -1, -2, и так далее. Наибольшим из этих целых чисел является 0.

Ответ: 0