Страница 263 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Среди учеников вашего класса наугад выбрали одного. Найдите вероятность того, что выбранный ученик имеет за вторую четверть оценку «5» по алгебре, если известно, что выбрали мальчика.

Эта задача на условную вероятность, поскольку событие происходит при определенном условии (выбранный ученик — мальчик). Для ее решения необходимо знать точное количество мальчиков в классе и сколько из них имеют оценку «5» по алгебре за вторую четверть. Так как эти данные в условии не указаны (они зависят от конкретного класса), мы решим задачу в общем виде и приведем пример с гипотетическими данными.

1. Общий подход к решению

Пусть событие $A$ — «у выбранного ученика оценка «5» по алгебре за вторую четверть».
Пусть событие $B$ — «выбранный ученик — мальчик».

Нам нужно найти условную вероятность $P(A|B)$, то есть вероятность того, что у ученика оценка «5» по алгебре, при условии, что это мальчик.

Согласно классическому определению вероятности, искомая вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов. Поскольку нам уже известно, что выбрали мальчика, пространство всех возможных исходов сужается до множества всех мальчиков в классе.

Пусть $n$ — это общее количество мальчиков в классе.
Пусть $k$ — это количество мальчиков в классе, которые имеют оценку «5» по алгебре за вторую четверть.

Тогда общее число исходов в нашем случае равно $n$, а число благоприятных исходов — $k$. Вероятность находится по формуле:
$P(A|B) = \frac{k}{n}$

2. Пример решения на конкретных данных

Предположим, что в вашем классе 30 учеников. Из них 14 мальчиков и 16 девочек. Допустим, что среди 14 мальчиков трое имеют оценку «5» по алгебре за вторую четверть.

В этом случае наши данные:
$n = 14$ (общее число мальчиков)
$k = 3$ (число мальчиков с оценкой «5» по алгебре)

Подставляем эти значения в формулу:
$P(A|B) = \frac{3}{14}$

Вероятность в этом гипотетическом классе составляет примерно $0.214$ или $21.4\%$.

Ответ: Вероятность равна отношению числа мальчиков, имеющих оценку «5» по алгебре за вторую четверть, к общему числу мальчиков в классе. Если обозначить эти числа как $k$ и $n$ соответственно, то формула для расчета: $P = \frac{k}{n}$.

2. Монету подбрасывают 4 раза. Найдите вероятность того, что в каждом из последних двух подбрасываний выпадет герб, если в каждом из первых двух подбрасываний выпало число.

Ключевым свойством подбрасывания монеты является независимость каждого броска от предыдущих. Это означает, что результат первых двух бросков никак не влияет на результат последующих двух.

Нам дано условие, что в первых двух подбрасываниях выпало число. Это событие уже произошло, и мы рассматриваем только последующие события. Теперь нам нужно найти вероятность того, что в каждом из следующих двух подбрасываний выпадет герб.

Рассмотрим третье подбрасывание. Вероятность выпадения герба для симметричной монеты равна $1/2$.

Рассмотрим четвертое подбрасывание. Это также независимое событие, и вероятность выпадения герба равна $1/2$.

Чтобы найти вероятность того, что оба этих события произойдут (герб на третьем броске И герб на четвертом), нужно перемножить их вероятности, так как они независимы:

$P(\text{герб на 3-м и герб на 4-м}) = P(\text{герб на 3-м}) \times P(\text{герб на 4-м}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

При переводе в десятичную дробь получаем $0,25$.

Ответ: 0,25

3. Стрелок попадает в мишень с вероятностью $p$. Опыт состоит в том, что стрелок стреляет до тех пор, пока не попадёт в мишень. Найдите вероятность того, что ему придётся стрелять 2 раза.

Пусть $p$ — это вероятность попадания в мишень при одном выстреле.

Тогда вероятность промаха при одном выстреле является вероятностью противоположного события и равна $1 - p$.

Событие, при котором стрелку придется стрелять ровно 2 раза, означает, что стрельба прекращается после второго выстрела. Это происходит при выполнении двух последовательных и независимых условий:

1. Первый выстрел должен быть промахом. Вероятность этого события равна $1 - p$.

2. Второй выстрел должен быть попаданием. Вероятность этого события равна $p$.

Поскольку выстрелы являются независимыми событиями, вероятность того, что они произойдут в указанной последовательности, вычисляется как произведение их вероятностей.

Искомая вероятность $P$ равна:

$P = (\text{вероятность промаха}) \times (\text{вероятность попадания}) = (1 - p) \cdot p$

Таким образом, искомая вероятность равна $p(1-p)$.

Ответ: $p(1-p)$