Страница 261 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Являются ли события $A$ и $B$ несовместными, если опыт состоит в том, что

1) игральный кубик подбрасывают два раза:

$A$ — «выпала единица при первом броске»;

$B$ — «выпала шестёрка при втором броске»;

2) в мишень стреляют два раза:

$A$ — «в мишень попали дважды»;

$B$ — «в мишень попали ровно один раз»?

1) Два события называются несовместными, если они не могут произойти одновременно в одном и том же испытании. Иначе говоря, наступление одного события исключает наступление другого. Математически это означает, что пересечение множеств исходов, соответствующих этим событиям, пусто: $A \cap B = \emptyset$.

В данном опыте игральный кубик подбрасывают два раза.

• Событие А: «выпала единица при первом броске».
• Событие В: «выпала шестёрка при втором броске».

Событие А зависит только от результата первого броска, а событие В — только от результата второго. Эти события могут произойти одновременно. Например, если в результате двух бросков выпала комбинация (1, 6), то есть единица при первом броске и шестёрка при втором. Этот исход принадлежит как событию А, так и событию В. Поскольку существует исход, при котором оба события наступают, их пересечение не является пустым множеством ($A \cap B \neq \emptyset$). Следовательно, события А и В не являются несовместными, они совместные.

Ответ: нет, события А и В не являются несовместными.

2) В данном опыте в мишень стреляют два раза.

• Событие А: «в мишень попали дважды».
• Событие В: «в мишень попали ровно один раз».

Рассмотрим, могут ли эти два события произойти одновременно в рамках одной серии из двух выстрелов. Событие А означает, что было два попадания. Событие В означает, что было ровно одно попадание. Невозможно, чтобы в одном и том же опыте количество попаданий было одновременно равно и двум, и одному. Если произошло событие А (два попадания), то событие В (одно попадание) произойти не могло. И наоборот, если произошло событие В, то не могло произойти событие А. Таким образом, наступление одного события полностью исключает наступление другого. Их пересечение является пустым множеством ($A \cap B = \emptyset$). Следовательно, события А и В являются несовместными.

Ответ: да, события А и В являются несовместными.

2. Библиотекарь школьной библиотеки берёт наугад один из учебников.

Среди следующих событий найдите пары несовместных:

A — «взят учебник по математике»;

B — «взят учебник для 9 класса»;

C — «взят учебник по физике для 10 класса»;

D — «взят учебник, изданный до 2016 г.»;

E — «взят учебник по гуманитарному предмету»

Два события называются несовместными, если они не могут произойти одновременно в результате одного и того же испытания. В данном случае это означает, что один и тот же случайно выбранный учебник не может одновременно удовлетворять условиям обоих событий. Проанализируем все возможные пары событий, чтобы найти несовместные.

События:
A – «взят учебник по математике»;
B – «взят учебник для 9 класса»;
C – «взят учебник по физике для 10 класса»;
D – «взят учебник, изданный до 2016 г.»;
E – «взят учебник по гуманитарному предмету».

A и C

Событие A (учебник по математике) и событие C (учебник по физике) не могут наступить одновременно. Один учебник не может быть одновременно по двум разным предметам — математике и физике. Следовательно, эти события несовместны.
Ответ: события A и C несовместны.

A и E

Событие A (учебник по математике) и событие E (учебник по гуманитарному предмету) несовместны. Математика — это точная наука, а не гуманитарный предмет. Учебник не может принадлежать к этим двум разным областям знаний одновременно.
Ответ: события A и E несовместны.

B и C

Событие B (учебник для 9 класса) и событие C (учебник для 10 класса) несовместны. Учебник предназначен для одного конкретного класса и не может быть одновременно для 9-го и для 10-го класса.
Ответ: события B и C несовместны.

C и E

Событие C (учебник по физике) и событие E (учебник по гуманитарному предмету) несовместны. Физика — это естественная наука, а не гуманитарный предмет. Один и тот же учебник не может быть одновременно по физике и по гуманитарной дисциплине.
Ответ: события C и E несовместны.

Все остальные пары событий являются совместными, так как возможно существование учебника, удовлетворяющего обоим условиям одновременно. Например:
(A и B) – существует учебник по математике для 9 класса.
(A и D) – существует учебник по математике, изданный до 2016 г.
(B и D) – существует учебник для 9 класса, изданный до 2016 г.
(B и E) – существует учебник по гуманитарному предмету (например, истории) для 9 класса.
(C и D) – существует учебник по физике для 10 класса, изданный до 2016 г.
(D и E) – существует учебник по гуманитарному предмету, изданный до 2016 г.

3. Среди членов спортклуба выбирают наугад одного человека. Событие A состоит в том, что выбранный человек занимается в тренажёрном зале, а событие $B$ – в том, что он плавает в бассейне. В чём состоит событие, проиллюстрированное на диаграмме (рис. 113)?

Рис. 113

а

б

в

Рис. 113 (окончание)

г

д

В данной задаче рассматриваются события, связанные с выбором члена спортклуба. Обозначим события:

• $A$ – выбранный человек занимается в тренажёрном зале.
• $B$ – выбранный человек плавает в бассейне.

Прямоугольник на диаграммах представляет множество всех членов спортклуба (универсальное множество), а круги A и B – подмножества, соответствующие указанным событиям. Заштрихованная область на каждой диаграмме иллюстрирует новое событие, которое нужно описать.

а)

На диаграмме заштрихована область пересечения кругов A и B. Это означает, что для выбранного человека выполняются оба условия: он занимается в тренажёрном зале и он плавает в бассейне. В теории множеств это событие соответствует пересечению множеств A и B, что обозначается как $A \cap B$ (или произведение событий $A \cdot B$).

Ответ: Событие заключается в том, что выбранный человек занимается в тренажёрном зале и плавает в бассейне.

б)

На диаграмме заштрихована вся область, занимаемая кругами A и B, включая их пересечение. Это означает, что выбранный человек занимается хотя бы одним из этих видов деятельности: или в тренажёрном зале, или в бассейне, или и там, и там. В теории множеств это событие соответствует объединению множеств A и B, что обозначается как $A \cup B$ (или сумма событий $A + B$).

Ответ: Событие заключается в том, что выбранный человек занимается в тренажёрном зале или плавает в бассейне.

в)

На диаграмме заштрихована вся область внутри прямоугольника, за исключением круга A. Это означает, что наступило событие, противоположное событию A. То есть, выбранный человек не занимается в тренажёрном зале. В теории множеств это событие является дополнением к множеству A и обозначается как $\bar{A}$.

Ответ: Событие заключается в том, что выбранный человек не занимается в тренажёрном зале.

г)

На диаграмме заштрихована та часть круга A, которая не входит в круг B. Это означает, что событие A произошло, а событие B — нет. То есть, выбранный человек занимается в тренажёрном зале, но при этом не плавает в бассейне. В теории множеств это событие соответствует разности множеств A и B, что обозначается как $A \setminus B$ (или произведение событий $A \cdot \bar{B}$).

Ответ: Событие заключается в том, что выбранный человек занимается в тренажёрном зале, но не плавает в бассейне.

д)

На диаграмме заштрихована область вне обоих кругов. Это означает, что не произошло ни событие A, ни событие B. То есть, выбранный человек не занимается в тренажёрном зале и не плавает в бассейне (он может заниматься другими видами спорта в клубе или не заниматься вовсе). В теории множеств это событие является дополнением к объединению множеств A и B, что обозначается как $\overline{A \cup B}$. Согласно законам де Моргана, это эквивалентно $\bar{A} \cap \bar{B}$.

Ответ: Событие заключается в том, что выбранный человек не занимается ни в тренажёрном зале, ни в бассейне.