Страница 265 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какова вероятность того, что из 4 бросков игрального кубика единица выпадет ровно 2 раза?

1. Для решения этой задачи используется формула Бернулли, которая определяет вероятность того, что в серии из $n$ независимых испытаний некоторое событие произойдет ровно $k$ раз.

Формула Бернулли выглядит так:

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

В данной задаче:

$n = 4$ – общее количество бросков игрального кубика.

$k = 2$ – желаемое количество выпадений единицы.

$p$ – вероятность "успеха", то есть выпадения единицы за один бросок. У стандартного кубика 6 граней, поэтому $p = \frac{1}{6}$.

$q$ – вероятность "неудачи", то есть выпадения любой другой грани, кроме единицы. Эта вероятность равна $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.

$C_n^k$ – это число сочетаний, показывающее, сколькими способами можно выбрать $k$ успешных исходов из $n$ испытаний. Рассчитывается по формуле: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Сначала вычислим число сочетаний $C_4^2$:

$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1)(2 \cdot 1)} = \frac{24}{4} = 6$.

Это означает, что есть 6 различных последовательностей бросков, в которых единица выпадет ровно 2 раза.

Теперь подставим все известные значения в формулу Бернулли:

$P_4(2) = C_4^2 \cdot p^2 \cdot q^{4-2} = 6 \cdot (\frac{1}{6})^2 \cdot (\frac{5}{6})^2$

Выполним вычисления:

$P_4(2) = 6 \cdot \frac{1^2}{6^2} \cdot \frac{5^2}{6^2} = 6 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{25}{36}$

$P_4(2) = \frac{6 \cdot 1 \cdot 25}{36 \cdot 36} = \frac{150}{1296}$

Осталось сократить полученную дробь. Можно заметить, что $36 = 6 \cdot 6$, поэтому можно сократить на 6:

$\frac{150}{1296} = \frac{6 \cdot 25}{6 \cdot 6 \cdot 36} = \frac{25}{6 \cdot 36} = \frac{25}{216}$

Дробь $\frac{25}{216}$ является несократимой, так как числитель $25 = 5^2$, а знаменатель $216 = 6^3 = 2^3 \cdot 3^3$ не имеет общих делителей с числителем, кроме 1.

Ответ: $ \frac{25}{216} $

2. Монету подбрасывают 8 раз. Какова вероятность, что ровно 5 раз выпадет цифра?

Для решения данной задачи используется формула Бернулли, которая определяет вероятность наступления события ровно $k$ раз в серии из $n$ независимых испытаний. Формула имеет вид: $P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$, где $n$ – общее число испытаний, $k$ – число «успешных» исходов, $p$ – вероятность «успеха» в одном испытании, $q = 1-p$ – вероятность «неудачи», а $C_n^k$ – число сочетаний.

В условиях нашей задачи общее число подбрасываний монеты $n = 8$, требуемое число выпадений цифры («успех») $k = 5$, вероятность выпадения цифры при одном броске $p = \frac{1}{2}$, а вероятность невыпадения цифры (выпадения орла) $q = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Сначала рассчитаем число сочетаний $C_8^5$ — это количество способов, которыми могут выпасть 5 цифр в 8 бросках. $C_8^5 = \frac{8!}{5!(8-5)!} = \frac{8!}{5!3!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56$.

Теперь подставим все значения в формулу Бернулли. Вероятность того, что цифра выпадет ровно 5 раз, равна: $P_8(5) = C_8^5 \cdot p^5 \cdot q^{8-5} = 56 \cdot (\frac{1}{2})^5 \cdot (\frac{1}{2})^3 = 56 \cdot (\frac{1}{2})^{5+3} = 56 \cdot (\frac{1}{2})^8$.

Вычислим значение выражения: $P_8(5) = 56 \cdot \frac{1}{2^8} = 56 \cdot \frac{1}{256} = \frac{56}{256}$.

Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для числителя 56 и знаменателя 256 равен 8: $\frac{56 \div 8}{256 \div 8} = \frac{7}{32}$.

При желании, можно представить ответ в виде десятичной дроби: $7 \div 32 = 0.21875$.

Ответ: $\frac{7}{32}$

3. Вероятность того, что на станке изготовят бракованную деталь, равна 0,1. Какова вероятность того, что из 12 деталей ровно 2 будут бракованными?

Для решения этой задачи используется формула Бернулли, которая позволяет найти вероятность наступления события ровно $k$ раз в $n$ независимых испытаниях.

Формула Бернулли имеет вид: $P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$, где:

• $n$ — общее число испытаний (в нашем случае, количество изготовленных деталей);
• $k$ — число наступлений «успешного» события (количество бракованных деталей);
• $p$ — вероятность «успеха» в одном испытании (вероятность изготовления бракованной детали);
• $q$ — вероятность «неудачи» ($q = 1 - p$, то есть вероятность изготовления стандартной детали);
• $C_n^k$ — число сочетаний из $n$ по $k$, которое показывает, сколькими способами можно выбрать $k$ элементов из множества $n$. Рассчитывается по формуле $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Согласно условию задачи, у нас есть следующие данные:

• Общее число испытаний (деталей): $n = 12$.
• Требуемое число бракованных деталей: $k = 2$.
• Вероятность изготовить бракованную деталь: $p = 0,1$.

Сначала найдем вероятность изготовления стандартной (небракованной) детали $q$:

$q = 1 - p = 1 - 0,1 = 0,9$

Далее вычислим число сочетаний $C_{12}^2$, то есть количество способов, которыми можно выбрать 2 бракованные детали из 12:

$C_{12}^2 = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12!}{2! \cdot 10!} = \frac{11 \cdot 12}{2 \cdot 1} = 66$

Теперь подставим все найденные значения в формулу Бернулли, чтобы найти вероятность того, что из 12 деталей ровно 2 будут бракованными:

$P_{12}(2) = C_{12}^2 \cdot p^k \cdot q^{n-k} = 66 \cdot (0,1)^2 \cdot (0,9)^{12-2} = 66 \cdot (0,1)^2 \cdot (0,9)^{10}$

Выполним вычисления:

$(0,1)^2 = 0,01$

$(0,9)^{10} \approx 0,34867844$

$P_{12}(2) = 66 \cdot 0,01 \cdot 0,34867844 = 0,66 \cdot 0,34867844 \approx 0,2301277$

Таким образом, искомая вероятность составляет примерно 0,23.

Ответ: $\approx 0,23$

4. Контрольная работа состоит из 7 задач. Вероятность того, что ученик правильно решит отдельно взятую задачу, равна 80 %. Найдите вероятность того, что ученик правильно решит $\tilde{5}$ задач.

Для решения данной задачи используется формула Бернулли, так как речь идет о серии независимых испытаний (решение каждой задачи) с двумя возможными исходами (решено правильно или решено неправильно) и постоянной вероятностью успеха.

Формула Бернулли для нахождения вероятности того, что событие произойдет ровно $k$ раз в $n$ испытаниях, выглядит следующим образом:$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$где:
$n$ – общее число испытаний (в данном случае, общее количество задач);
$k$ – число успешных исходов (количество правильно решенных задач);
$p$ – вероятность успеха в одном испытании (вероятность правильно решить задачу);
$q$ – вероятность неудачи в одном испытании ($q = 1 - p$);
$C_n^k$ – число сочетаний, то есть количество способов выбрать $k$ успешных исходов из $n$. Рассчитывается как $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Подставим в формулу значения из условия задачи:
Общее число задач $n = 7$.
Количество правильно решенных задач $k = 5$.
Вероятность правильно решить одну задачу $p = 80\% = 0.8$.
Следовательно, вероятность неправильно решить одну задачу $q = 1 - 0.8 = 0.2$.

1. Сначала рассчитаем число сочетаний $C_7^5$, то есть сколькими способами можно выбрать 5 задач из 7, которые будут решены правильно:$C_7^5 = \frac{7!}{5!(7-5)!} = \frac{7!}{5! \cdot 2!} = \frac{5! \cdot 6 \cdot 7}{5! \cdot 2 \cdot 1} = \frac{42}{2} = 21$.

2. Теперь подставим все найденные значения в формулу Бернулли:$P_7(5) = C_7^5 \cdot p^5 \cdot q^{7-5} = 21 \cdot (0.8)^5 \cdot (0.2)^2$.

3. Выполним вычисления:
$(0.8)^5 = 0.32768$
$(0.2)^2 = 0.04$
$P_7(5) = 21 \cdot 0.32768 \cdot 0.04 = 0.2752512$.

Таким образом, вероятность того, что ученик правильно решит ровно 5 задач из 7, составляет 0.2752512.

Ответ: 0.2752512