Номер 4, страница 265 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

4. Контрольная работа состоит из 7 задач. Вероятность того, что ученик правильно решит отдельно взятую задачу, равна 80 %. Найдите вероятность того, что ученик правильно решит $\tilde{5}$ задач.

Для решения данной задачи используется формула Бернулли, так как речь идет о серии независимых испытаний (решение каждой задачи) с двумя возможными исходами (решено правильно или решено неправильно) и постоянной вероятностью успеха.

Формула Бернулли для нахождения вероятности того, что событие произойдет ровно $k$ раз в $n$ испытаниях, выглядит следующим образом:$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$где:
$n$ – общее число испытаний (в данном случае, общее количество задач);
$k$ – число успешных исходов (количество правильно решенных задач);
$p$ – вероятность успеха в одном испытании (вероятность правильно решить задачу);
$q$ – вероятность неудачи в одном испытании ($q = 1 - p$);
$C_n^k$ – число сочетаний, то есть количество способов выбрать $k$ успешных исходов из $n$. Рассчитывается как $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Подставим в формулу значения из условия задачи:
Общее число задач $n = 7$.
Количество правильно решенных задач $k = 5$.
Вероятность правильно решить одну задачу $p = 80\% = 0.8$.
Следовательно, вероятность неправильно решить одну задачу $q = 1 - 0.8 = 0.2$.

1. Сначала рассчитаем число сочетаний $C_7^5$, то есть сколькими способами можно выбрать 5 задач из 7, которые будут решены правильно:$C_7^5 = \frac{7!}{5!(7-5)!} = \frac{7!}{5! \cdot 2!} = \frac{5! \cdot 6 \cdot 7}{5! \cdot 2 \cdot 1} = \frac{42}{2} = 21$.

2. Теперь подставим все найденные значения в формулу Бернулли:$P_7(5) = C_7^5 \cdot p^5 \cdot q^{7-5} = 21 \cdot (0.8)^5 \cdot (0.2)^2$.

3. Выполним вычисления:
$(0.8)^5 = 0.32768$
$(0.2)^2 = 0.04$
$P_7(5) = 21 \cdot 0.32768 \cdot 0.04 = 0.2752512$.

Таким образом, вероятность того, что ученик правильно решит ровно 5 задач из 7, составляет 0.2752512.

Ответ: 0.2752512