Номер 927, страница 269 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

927. Докажите неравенство:

1) $(2b - 1)(3b + 2) < (3b - 1)(2b + 1);$

2) $25m^2 + n^2 \ge 10mn;$

3) $2a^2 - 4a + 5 > 0;$

4) $x^2 + x + 1 > 0;$

5) $4y^2 - 12 \ge 12y - 21;$

6) $a^2 + b^2 + 2 \ge 2(a + b);$

7) $a^2 + b^2 + c^2 + 3 \ge 2(a + b + c);$

8) $2a^2 + 5b^2 + 2ab + 1 > 0;$

9) $x^2 + y^2 + 15 > 6x + 4y.$

1) Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

Левая часть: $(2b - 1)(3b + 2) = 6b^2 + 4b - 3b - 2 = 6b^2 + b - 2$.

Правая часть: $(3b - 1)(2b + 1) = 6b^2 + 3b - 2b - 1 = 6b^2 + b - 1$.

Подставим полученные выражения в исходное неравенство:

$6b^2 + b - 2 < 6b^2 + b - 1$

Перенесем все члены с переменной в одну сторону, а числовые значения в другую:

$6b^2 - 6b^2 + b - b < -1 + 2$

$0 < 1$

Мы получили верное числовое неравенство, которое не зависит от переменной $b$. Следовательно, исходное неравенство верно при любом значении $b$.

Ответ: Неравенство доказано.

2) Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$25m^2 - 10mn + n^2 \geq 0$

Левая часть неравенства представляет собой полный квадрат разности по формуле $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = 5m$ и $b = n$.

$(5m - n)^2 \geq 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (больше или равен нулю). Следовательно, неравенство верно при любых значениях $m$ и $n$.

Ответ: Неравенство доказано.

3) Преобразуем левую часть неравенства, выделив полный квадрат:

$2a^2 - 4a + 5 = 2(a^2 - 2a) + 5 = 2(a^2 - 2a + 1 - 1) + 5 = 2((a - 1)^2 - 1) + 5 = 2(a - 1)^2 - 2 + 5 = 2(a - 1)^2 + 3$

Получили неравенство:

$2(a - 1)^2 + 3 > 0$

Выражение $(a - 1)^2$ всегда неотрицательно, то есть $(a - 1)^2 \geq 0$.

Следовательно, $2(a - 1)^2 \geq 0$.

Прибавив 3 к неотрицательному числу, мы получим число, которое больше или равно 3: $2(a - 1)^2 + 3 \geq 3$.

Поскольку $3 > 0$, то и $2(a - 1)^2 + 3 > 0$ при любом значении $a$.

Ответ: Неравенство доказано.

4) Выделим в левой части неравенства полный квадрат:

$x^2 + x + 1 = (x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2) - (\frac{1}{2})^2 + 1 = (x + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} + 1 = (x + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$

Получили неравенство:

$(x + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} > 0$

Выражение $(x + \frac{1}{2})^2$ всегда неотрицательно: $(x + \frac{1}{2})^2 \geq 0$.

Прибавив к нему положительное число $\frac{3}{4}$, получим выражение, которое всегда больше нуля: $(x + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} \geq \frac{3}{4} > 0$.

Следовательно, неравенство верно при любом значении $x$.

Ответ: Неравенство доказано.

5) Перенесем все члены неравенства в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$4y^2 - 12 - 12y + 21 \geq 0$

$4y^2 - 12y + 9 \geq 0$

Левая часть неравенства является полным квадратом разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = 2y$ и $b = 3$.

$(2y - 3)^2 \geq 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Следовательно, неравенство верно при любом значении $y$.

Ответ: Неравенство доказано.

6) Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть:

$a^2 + b^2 + 2 \geq 2a + 2b$

$a^2 - 2a + b^2 - 2b + 2 \geq 0$

Сгруппируем слагаемые и представим 2 как $1+1$, чтобы выделить полные квадраты:

$(a^2 - 2a + 1) + (b^2 - 2b + 1) \geq 0$

Теперь свернем каждую скобку в полный квадрат:

$(a - 1)^2 + (b - 1)^2 \geq 0$

Неравенство представляет собой сумму двух квадратов. Каждый квадрат $(a - 1)^2$ и $(b - 1)^2$ является неотрицательным числом. Сумма двух неотрицательных чисел также неотрицательна. Следовательно, неравенство верно при любых значениях $a$ и $b$.

Ответ: Неравенство доказано.

7) Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть:

$a^2 + b^2 + c^2 + 3 \geq 2a + 2b + 2c$

$a^2 - 2a + b^2 - 2b + c^2 - 2c + 3 \geq 0$

Сгруппируем слагаемые и представим 3 как $1+1+1$, чтобы выделить полные квадраты для каждой переменной:

$(a^2 - 2a + 1) + (b^2 - 2b + 1) + (c^2 - 2c + 1) \geq 0$

Свернем каждую скобку в полный квадрат:

$(a - 1)^2 + (b - 1)^2 + (c - 1)^2 \geq 0$

Это сумма трех квадратов. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, их сумма также будет неотрицательной. Следовательно, неравенство верно при любых значениях $a$, $b$ и $c$.

Ответ: Неравенство доказано.

8) Преобразуем левую часть неравенства, выделив полный квадрат относительно переменной $a$:

$2a^2 + 2ab + 5b^2 + 1 = 2(a^2 + ab) + 5b^2 + 1$

Чтобы в скобках получить полный квадрат, добавим и вычтем $(\frac{b}{2})^2$:

$2(a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{b}{2} + (\frac{b}{2})^2 - (\frac{b}{2})^2) + 5b^2 + 1 = 2((a + \frac{b}{2})^2 - \frac{b^2}{4}) + 5b^2 + 1$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2(a + \frac{b}{2})^2 - 2 \cdot \frac{b^2}{4} + 5b^2 + 1 = 2(a + \frac{b}{2})^2 - \frac{b^2}{2} + 5b^2 + 1 = 2(a + \frac{b}{2})^2 + \frac{9b^2}{2} + 1$

Получили неравенство:

$2(a + \frac{b}{2})^2 + \frac{9b^2}{2} + 1 > 0$

Выражения $2(a + \frac{b}{2})^2$ и $\frac{9b^2}{2}$ неотрицательны, так как являются квадратами, умноженными на положительные числа. Их сумма плюс 1 всегда будет больше или равна 1: $2(a + \frac{b}{2})^2 + \frac{9b^2}{2} + 1 \geq 1$.

Поскольку $1 > 0$, исходное неравенство верно при любых значениях $a$ и $b$.

Ответ: Неравенство доказано.

9) Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$x^2 + y^2 + 15 - 6x - 4y > 0$

Сгруппируем слагаемые по переменным, чтобы выделить полные квадраты:

$(x^2 - 6x) + (y^2 - 4y) + 15 > 0$

Для выделения полного квадрата в первой скобке нужно добавить 9, а во второй — 4. Представим 15 как $9+4+2$:

$(x^2 - 6x + 9) + (y^2 - 4y + 4) + 2 > 0$

Свернем скобки в полные квадраты:

$(x - 3)^2 + (y - 2)^2 + 2 > 0$

Выражения $(x - 3)^2$ и $(y - 2)^2$ всегда неотрицательны. Их сумма также неотрицательна. Прибавив 2, получим: $(x - 3)^2 + (y - 2)^2 + 2 \geq 2$.

Поскольку $2 > 0$, исходное неравенство верно при любых значениях $x$ и $y$.

Ответ: Неравенство доказано.