Номер 931, страница 269 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

931. Докажите, что если $a > b > 1$, то $a^2b + b^2 + a > ab^2 + a^2 + b$.

Для доказательства неравенства $a^2b + b^2 + a > ab^2 + a^2 + b$ перенесем все члены из правой части в левую, изменив их знаки на противоположные:

$a^2b + b^2 + a - ab^2 - a^2 - b > 0$

Теперь сгруппируем слагаемые для последующего разложения на множители. Сгруппируем члены, содержащие $ab$, члены, содержащие квадраты, и оставшиеся линейные члены:

$(a^2b - ab^2) - (a^2 - b^2) + (a - b) > 0$

Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой скобки вынесем $ab$, вторую скобку разложим по формуле разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$ab(a - b) - (a - b)(a + b) + (a - b) > 0$

Мы видим, что у всех трех слагаемых есть общий множитель $(a - b)$. Вынесем его за скобки:

$(a - b)(ab - (a + b) + 1) > 0$

Раскроем внутренние скобки во втором множителе:

$(a - b)(ab - a - b + 1) > 0$

Выражение во второй скобке также можно разложить на множители путем группировки:

$ab - a - b + 1 = a(b - 1) - (b - 1) = (a - 1)(b - 1)$

Подставим это разложение обратно в наше неравенство:

$(a - b)(a - 1)(b - 1) > 0$

Теперь проанализируем знаки каждого из множителей в левой части, используя условие $a > b > 1$:

1. Так как $a > b$, то разность $(a - b)$ является положительным числом, то есть $(a - b) > 0$.

2. Так как $a > 1$, то разность $(a - 1)$ является положительным числом, то есть $(a - 1) > 0$.

3. Так как $b > 1$, то разность $(b - 1)$ является положительным числом, то есть $(b - 1) > 0$.

В левой части неравенства мы имеем произведение трех положительных чисел. Произведение положительных чисел всегда положительно.

Следовательно, неравенство $(a - b)(a - 1)(b - 1) > 0$ верно при заданных условиях.

Поскольку все преобразования были равносильными, то и исходное неравенство $a^2b + b^2 + a > ab^2 + a^2 + b$ также верно.

Ответ: Что и требовалось доказать.