Номер 935, страница 269 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

935. Докажите, что если $a > 5$ и $b < -2$, то:

1) $3a - b > 17$;

2) $5b - 2a < -10$.

1)Дано: $a > 5$ и $b < -2$.
Требуется доказать: $3a - b > 17$.

Для доказательства выполним следующие преобразования с исходными неравенствами:
1. Умножим обе части неравенства $a > 5$ на 3. Так как 3 — положительное число, знак неравенства не изменится:
$a \cdot 3 > 5 \cdot 3$
$3a > 15$
2. Умножим обе части неравенства $b < -2$ на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$b \cdot (-1) > -2 \cdot (-1)$
$-b > 2$
3. Теперь сложим полученные неравенства $3a > 15$ и $-b > 2$. Так как оба неравенства имеют одинаковый знак ($>$), мы можем их почленно сложить:
$3a + (-b) > 15 + 2$
$3a - b > 17$
Что и требовалось доказать.
Ответ: Неравенство доказано.

2)Дано: $a > 5$ и $b < -2$.
Требуется доказать: $5b - 2a < -10$.

Выполним преобразования с исходными неравенствами:
1. Умножим обе части неравенства $b < -2$ на 5. Так как 5 — положительное число, знак неравенства сохранится:
$b \cdot 5 < -2 \cdot 5$
$5b < -10$
2. Умножим обе части неравенства $a > 5$ на -2. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$a \cdot (-2) < 5 \cdot (-2)$
$-2a < -10$
3. Теперь сложим полученные неравенства $5b < -10$ и $-2a < -10$. Так как оба неравенства имеют одинаковый знак (<), мы можем их почленно сложить:
$5b + (-2a) < -10 + (-10)$
$5b - 2a < -20$
Поскольку $-20$ меньше, чем $-10$ (т.е. $-20 < -10$), то из того, что $5b - 2a < -20$, следует, что $5b - 2a$ тем более меньше, чем $-10$. Таким образом, неравенство $5b - 2a < -10$ является верным.
Что и требовалось доказать.
Ответ: Неравенство доказано.