Номер 940, страница 270 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

940. Известно, что $3 < m < 4$ и $-3 < n < -2$. Оцените значение выражения:

1) $2m + 3n$;
2) $0,2m - n$;
3) $-5m + 4n$;
4) $m - \frac{m}{n}$.

При оценке выражений с неравенствами важно помнить: складывать неравенства одного знака можно, а вот вычитать и делить напрямую нельзя. Чтобы оценить разность, мы сначала оцениваем отрицательное значение, а затем складываем.

1) Оценка $2m + 3n$:
Сначала оценим каждое слагаемое:
$3 < m < 4 \Rightarrow 6 < 2m < 8$ (умножили на 2)
$-3 < n < -2 \Rightarrow -9 < 3n < -6$ (умножили на 3)
Сложим результаты:
$6 + (-9) < 2m + 3n < 8 + (-6)$
$-3 < 2m + 3n < 2$
Ответ: $-3 < 2m + 3n < 2$

2) Оценка $0,2m - n$:
Оценим $0,2m$: $3 \cdot 0,2 < 0,2m < 4 \cdot 0,2 \Rightarrow 0,6 < 0,2m < 0,8$.
Оценим $-n$. При умножении на $-1$ знаки неравенства переворачиваются:
$-3 < n < -2 \Rightarrow 2 < -n < 3$
Сложим $0,2m$ и $-n$:
$0,6 + 2 < 0,2m - n < 0,8 + 3$
$2,6 < 0,2m - n < 3,8$
Ответ: $2,6 < 0,2m - n < 3,8$

3) Оценка $-5m + 4n$:
Оценим $-5m$ (меняем знаки): $-20 < -5m < -15$.
Оценим $4n$: $-12 < 4n < -8$.
Сложим их:
$-20 + (-12) < -5m + 4n < -15 + (-8)$
$-32 < -5m + 4n < -23$
Ответ: $-32 < -5m + 4n < -23$

4) Оценка $m - \frac{m}{n}$:
Сначала оценим частное $\frac{m}{n}$. Это произведение $m \cdot \frac{1}{n}$.
Оценим $\frac{1}{n}$. Так как $n$ отрицательно, знаки перевернутся:
$-3 < n < -2 \Rightarrow -\frac{1}{2} < \frac{1}{n} < -\frac{1}{3}$
Теперь оценим $\frac{m}{n} = m \cdot \frac{1}{n}$. Берем крайние значения (умножаем $m$ на $\frac{1}{n}$ крест-накрест, так как числа разных знаков):
$4 \cdot (-\frac{1}{2}) < \frac{m}{n} < 3 \cdot (-\frac{1}{3}) \Rightarrow -2 < \frac{m}{n} < -1$.
Оценим $-\frac{m}{n}$: $1 < -\frac{m}{n} < 2$.
Теперь складываем $m$ и $-\frac{m}{n}$:
$3 + 1 < m - \frac{m}{n} < 4 + 2 \Rightarrow 4 < m - \frac{m}{n} < 6$.
Ответ: $4 < m - \frac{m}{n} < 6$