Номер 940, страница 270 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

940. Известно, что $3 < m < 4$ и $-3 < n < -2$. Оцените значение выражения:

1) $2m + 3n$;
2) $0,2m - n$;
3) $-5m + 4n$;
4) $m - \frac{m}{n}$.

1) 2m + 3n

Для оценки значения выражения $2m + 3n$, сначала оценим каждое слагаемое в отдельности, используя данные неравенства $3 < m < 4$ и $-3 < n < -2$.

1. Оценим $2m$. Умножим все части неравенства $3 < m < 4$ на положительное число 2. Знак неравенства при этом не изменится.

$2 \cdot 3 < 2 \cdot m < 2 \cdot 4$

$6 < 2m < 8$

2. Оценим $3n$. Умножим все части неравенства $-3 < n < -2$ на положительное число 3. Знак неравенства также не изменится.

$3 \cdot (-3) < 3 \cdot n < 3 \cdot (-2)$

$-9 < 3n < -6$

3. Теперь сложим полученные неравенства. При сложении неравенств одного знака мы складываем их левые, средние и правые части соответственно.

$ \begin{array}{c} + \\ \begin{array}{r@{\,}c@{\,}l} 6 &< 2m <& 8 \\ -9 &< 3n <& -6 \\ \end{array} \\ \hline \begin{array}{r@{\,}c@{\,}l} 6 + (-9) &< 2m + 3n <& 8 + (-6) \\ \end{array} \end{array} $

$-3 < 2m + 3n < 2$

Ответ: $-3 < 2m + 3n < 2$.

2) 0,2m - n

Представим выражение в виде суммы: $0,2m + (-n)$.

1. Оценим $0,2m$. Умножим неравенство $3 < m < 4$ на 0,2:

$0,2 \cdot 3 < 0,2 \cdot m < 0,2 \cdot 4$

$0,6 < 0,2m < 0,8$

2. Оценим $-n$. Для этого умножим неравенство $-3 < n < -2$ на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные.

$(-1) \cdot (-3) > (-1) \cdot n > (-1) \cdot (-2)$

$3 > -n > 2$

Для удобства сложения запишем это неравенство в стандартном виде (от меньшего к большему): $2 < -n < 3$.

3. Сложим неравенства для $0,2m$ и $-n$:

$0,6 + 2 < 0,2m + (-n) < 0,8 + 3$

$2,6 < 0,2m - n < 3,8$

Ответ: $2,6 < 0,2m - n < 3,8$.

3) -5m + 4n

Оценим каждое слагаемое по отдельности.

1. Оценим $-5m$. Умножим неравенство $3 < m < 4$ на -5, меняя знаки неравенства на противоположные:

$(-5) \cdot 3 > (-5) \cdot m > (-5) \cdot 4$

$-15 > -5m > -20$

Запишем в стандартном виде: $-20 < -5m < -15$.

2. Оценим $4n$. Умножим неравенство $-3 < n < -2$ на 4:

$4 \cdot (-3) < 4 \cdot n < 4 \cdot (-2)$

$-12 < 4n < -8$

3. Сложим полученные неравенства:

$-20 + (-12) < -5m + 4n < -15 + (-8)$

$-32 < -5m + 4n < -23$

Ответ: $-32 < -5m + 4n < -23$.

4) m - m/n

Представим выражение в виде суммы $m + (-\frac{m}{n})$.

1. Сначала оценим значение дроби $\frac{m}{n}$. Поскольку $m$ находится в интервале $(3, 4)$ и является положительным, а $n$ в интервале $(-3, -2)$ и является отрицательным, то частное $\frac{m}{n}$ будет отрицательным. Чтобы найти границы для частного, нужно рассмотреть комбинации границ $m$ и $n$. Наименьшее значение частного будет при делении наибольшего $m$ на $n$ с наименьшим модулем (ближайшее к нулю), а наибольшее значение — при делении наименьшего $m$ на $n$ с наибольшим модулем.

Нижняя граница: $\frac{4}{-2} = -2$.

Верхняя граница: $\frac{3}{-3} = -1$.

Таким образом, $-2 < \frac{m}{n} < -1$.

2. Теперь оценим выражение $-\frac{m}{n}$. Умножим неравенство $-2 < \frac{m}{n} < -1$ на -1, меняя знаки:

$(-1) \cdot (-2) > -\frac{m}{n} > (-1) \cdot (-1)$

$2 > -\frac{m}{n} > 1$

Запишем в стандартном виде: $1 < -\frac{m}{n} < 2$.

3. Сложим исходное неравенство для $m$ и полученное неравенство для $-\frac{m}{n}$:

$3 + 1 < m + (-\frac{m}{n}) < 4 + 2$

$4 < m - \frac{m}{n} < 6$

Ответ: $4 < m - \frac{m}{n} < 6$.