Номер 937, страница 270 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

937. Положительные числа $a, b, c$ и $d$ таковы, что $a > b, d < b$ и $c > a$. Расположите в порядке возрастания числа $\frac{1}{a}$, $\frac{1}{b}$, $\frac{1}{c}$ и $\frac{1}{d}$.

По условию задачи даны четыре положительных числа $a, b, c$ и $d$, для которых выполняются следующие неравенства: $a > b$, $d < b$ и $c > a$. Требуется расположить в порядке возрастания числа $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ и $\frac{1}{d}$.

Для решения этой задачи сначала упорядочим исходные числа $a, b, c, d$.

Из неравенств $a > b$ и $d < b$ можно сделать вывод, что $d$ является наименьшим из этих трех чисел, а $a$ — наибольшим. Таким образом, мы получаем цепочку неравенств: $d < b < a$.

Теперь используем третье условие, $c > a$. Объединяя его с уже имеющейся цепочкой, мы получаем окончательный порядок для всех четырех чисел:

$d < b < a < c$

Далее, нам нужно сравнить обратные этим числам величины: $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ и $\frac{1}{d}$.

Важно помнить, что для любых двух положительных чисел $x$ и $y$, если $x < y$, то их обратные величины будут находиться в обратном соотношении, то есть $\frac{1}{x} > \frac{1}{y}$. Это свойство функции $f(x) = \frac{1}{x}$, которая является убывающей на множестве положительных чисел.

Применим это правило к нашей упорядоченной последовательности $d < b < a < c$. Так как все числа положительные, то при переходе к обратным величинам знаки неравенств изменятся на противоположные:

$\frac{1}{d} > \frac{1}{b} > \frac{1}{a} > \frac{1}{c}$

Это убывающая последовательность. Чтобы получить порядок возрастания, как требуется в задаче, нужно записать эту последовательность в обратном порядке (от наименьшего к наибольшему):

$\frac{1}{c} < \frac{1}{a} < \frac{1}{b} < \frac{1}{d}$

Ответ: $\frac{1}{c}, \frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{d}$.