Номер 930, страница 269 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

930. Известно, что $b < 2$. Сравните с нулём значение выражения:

1) $4b - 8;$

2) $(b - 2)^2(b - 3);$

3) $\frac{b - 3}{(2 - b)(b - 4)}.$

1) Чтобы сравнить выражение $4b - 8$ с нулём, воспользуемся свойством неравенств. Исходя из условия $b < 2$, выполним следующие преобразования:
Умножим обе части неравенства на положительное число 4. Знак неравенства при этом не изменится.
$4 \cdot b < 4 \cdot 2$
$4b < 8$
Теперь вычтем из обеих частей неравенства число 8.
$4b - 8 < 8 - 8$
$4b - 8 < 0$
Таким образом, значение выражения меньше нуля.
Ответ: $4b - 8 < 0$.

2) Для сравнения выражения $(b - 2)^2(b - 3)$ с нулём, определим знак каждого из множителей при условии $b < 2$.
Рассмотрим первый множитель $(b - 2)^2$. Поскольку $b < 2$, то $b \neq 2$, а значит $b - 2 \neq 0$. Квадрат любого действительного числа, не равного нулю, всегда положителен. Следовательно, $(b - 2)^2 > 0$.
Рассмотрим второй множитель $(b - 3)$. Так как $b < 2$, то $b$ тем более меньше 3. Если из обеих частей неравенства $b < 2$ вычесть 3, получим:
$b - 3 < 2 - 3$
$b - 3 < -1$
Это означает, что множитель $(b - 3)$ отрицателен.
Произведение положительного числа $(b - 2)^2$ и отрицательного числа $(b - 3)$ является отрицательным числом.
Ответ: $(b - 2)^2(b - 3) < 0$.

3) Чтобы сравнить с нулём значение дроби $\frac{b-3}{(2-b)(b-4)}$, определим знак числителя и знаменателя.
Знак числителя $(b - 3)$: как было показано в предыдущем пункте, при $b < 2$ выражение $b-3$ является отрицательным.
Знак знаменателя $(2-b)(b-4)$: определим знак каждого сомножителя в знаменателе.
- Для множителя $(2-b)$: из условия $b < 2$ следует, что $2 - b > 0$, то есть этот множитель положителен.
- Для множителя $(b - 4)$: так как $b < 2$, то $b$ тем более меньше 4. Вычтем 4 из обеих частей неравенства $b < 2$:
$b - 4 < 2 - 4$
$b - 4 < -2$
Этот множитель отрицателен.
Знаменатель является произведением положительного числа $(2-b)$ и отрицательного числа $(b-4)$, следовательно, знаменатель отрицателен.
Вся дробь является частным от деления отрицательного числителя на отрицательный знаменатель. Результат деления двух отрицательных чисел — число положительное.
Ответ: $\frac{b-3}{(2-b)(b-4)} > 0$.