Номер 934, страница 269 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

934. Докажите, что если $a > 7$ и $b > 3$, то:

1) $4a + b > 31$;

2) $10a + 3b > 75$.

1)

По условию задачи даны два неравенства: $a > 7$ и $b > 3$. Необходимо доказать, что $4a + b > 31$.

Для доказательства воспользуемся свойствами числовых неравенств. Умножим обе части первого неравенства $a > 7$ на положительное число 4. Согласно свойству, если обе части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство того же знака.

$4 \cdot a > 4 \cdot 7$

$4a > 28$

Теперь у нас есть два верных неравенства: $4a > 28$ и исходное $b > 3$.

Согласно другому свойству, если почленно сложить верные неравенства одного знака, то получится верное неравенство того же знака. Сложим левые и правые части неравенств $4a > 28$ и $b > 3$:

$4a + b > 28 + 3$

$4a + b > 31$

Таким образом, мы доказали, что если $a > 7$ и $b > 3$, то $4a + b > 31$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.

2)

Используя те же начальные условия, $a > 7$ и $b > 3$, докажем, что $10a + 3b > 75$.

Аналогично первому пункту, преобразуем исходные неравенства. Умножим обе части неравенства $a > 7$ на положительное число 10:

$10 \cdot a > 10 \cdot 7$

$10a > 70$

Далее, умножим обе части неравенства $b > 3$ на положительное число 3:

$3 \cdot b > 3 \cdot 3$

$3b > 9$

Теперь у нас есть два новых верных неравенства: $10a > 70$ и $3b > 9$. Сложим их почленно:

$10a + 3b > 70 + 9$

$10a + 3b > 79$

Мы доказали, что значение выражения $10a + 3b$ строго больше 79. Нам же нужно было доказать, что оно больше 75. Поскольку $79 > 75$, то из того, что $10a + 3b > 79$, по свойству транзитивности неравенств следует, что $10a + 3b > 75$.

Таким образом, требуемое неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано.