Номер 936, страница 269 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

936. Сравните, если возможно:

1) $4a + b$ и 12, если $a > 2$ и $b > 5$;

2) $b - 2a$ и 0, если $a > 4$ и $b < 6$;

3) $b - 3a$ и 1, если $a < 6$ и $b < 0$;

4) $a - 5b$ и 1, если $a < 12$ и $b > 2$.

1) Сравнить $4a + b$ и $12$, если $a > 2$ и $b > 5$.

Для решения воспользуемся свойствами числовых неравенств.
Из условия $a > 2$ следует, что если умножить обе части неравенства на положительное число 4, знак неравенства сохранится:
$4 \cdot a > 4 \cdot 2$
$4a > 8$

Теперь у нас есть два неравенства одинакового знака: $4a > 8$ и $b > 5$.
Сложим эти неравенства почленно:
$4a + b > 8 + 5$
$4a + b > 13$

Так как $13 > 12$, то из того, что значение выражения $4a + b$ больше 13, следует, что оно также больше 12.
Следовательно, $4a + b > 12$.

Ответ: $4a + b > 12$.

2) Сравнить $b - 2a$ и $0$, если $a > 4$ и $b < 6$.

Нам нужно оценить выражение $b - 2a$, которое можно представить как сумму $b + (-2a)$.
Из условия $a > 4$ следует, что если умножить обе части неравенства на отрицательное число -2, знак неравенства изменится на противоположный:
$-2 \cdot a < -2 \cdot 4$
$-2a < -8$

Теперь у нас есть два неравенства одинакового знака: $b < 6$ и $-2a < -8$.
Сложим эти неравенства почленно:
$b + (-2a) < 6 + (-8)$
$b - 2a < -2$

Так как $-2 < 0$, то из того, что значение выражения $b - 2a$ меньше -2, следует, что оно также меньше 0.
Следовательно, $b - 2a < 0$.

Ответ: $b - 2a < 0$.

3) Сравнить $b - 3a$ и $1$, если $a < 6$ и $b < 0$.

Из условия $a < 6$ следует, что если умножить обе части неравенства на отрицательное число -3, знак неравенства изменится на противоположный:
$-3 \cdot a > -3 \cdot 6$
$-3a > -18$

У нас есть два неравенства: $b < 0$ и $-3a > -18$. Так как знаки неравенств разные, мы не можем их сложить для получения однозначной оценки. Проверим, можно ли сделать сравнение, на конкретных примерах, удовлетворяющих условиям.

Пример 1:
Пусть $a = 5$ (условие $a<6$ выполняется) и $b = -1$ (условие $b<0$ выполняется).
Тогда $b - 3a = -1 - 3 \cdot 5 = -1 - 15 = -16$.
В этом случае $-16 < 1$, то есть $b - 3a < 1$.

Пример 2:
Пусть $a = -10$ (условие $a<6$ выполняется) и $b = -1$ (условие $b<0$ выполняется).
Тогда $b - 3a = -1 - 3 \cdot (-10) = -1 + 30 = 29$.
В этом случае $29 > 1$, то есть $b - 3a > 1$.

Поскольку в зависимости от выбора конкретных значений $a$ и $b$ результат сравнения может быть разным, сделать однозначный вывод невозможно.

Ответ: Сравнить невозможно.

4) Сравнить $a - 5b$ и $1$, если $a < 12$ и $b > 2$.

Оценим выражение $a - 5b$, которое можно представить как сумму $a + (-5b)$.
Из условия $b > 2$ следует, что если умножить обе части неравенства на отрицательное число -5, знак неравенства изменится на противоположный:
$-5 \cdot b < -5 \cdot 2$
$-5b < -10$

Теперь у нас есть два неравенства одинакового знака: $a < 12$ и $-5b < -10$.
Сложим эти неравенства почленно:
$a + (-5b) < 12 + (-10)$
$a - 5b < 2$

Полученное неравенство $a - 5b < 2$ не позволяет однозначно сравнить выражение с числом 1, так как значение выражения может быть как больше 1, так и меньше или равно 1. Приведем примеры.

Пример 1:
Пусть $a = 10$ (условие $a<12$ выполняется) и $b = 3$ (условие $b>2$ выполняется).
Тогда $a - 5b = 10 - 5 \cdot 3 = 10 - 15 = -5$.
В этом случае $-5 < 1$, то есть $a - 5b < 1$.

Пример 2:
Пусть $a = 11$ (условие $a<12$ выполняется) и $b = 2.1$ (условие $b>2$ выполняется).
Тогда $a - 5b = 11 - 5 \cdot 2.1 = 11 - 10.5 = 0.5$.
В этом случае $0.5 < 1$, то есть $a - 5b < 1$.

Пример 3:
Пусть $a = 11.9$ (условие $a<12$ выполняется) и $b = 2.1$ (условие $b>2$ выполняется).
Тогда $a - 5b = 11.9 - 5 \cdot 2.1 = 11.9 - 10.5 = 1.4$.
В этом случае $1.4 > 1$, то есть $a - 5b > 1$.

Поскольку результат сравнения зависит от выбора конкретных значений $a$ и $b$, сделать однозначный вывод невозможно.

Ответ: Сравнить невозможно.