Номер 932, страница 269 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

932. Докажите, что если $a < b < 2$, то $a^2b + 2b^2 + 4a < ab^2 + 2a^2 + 4b$.

Для доказательства данного неравенства преобразуем его, перенеся все члены в одну сторону. Перенесем все члены из левой части в правую:

$0 < ab^2 + 2a^2 + 4b - a^2b - 2b^2 - 4a$

Сгруппируем слагаемые в правой части, чтобы выявить общие множители:

$(ab^2 - a^2b) - (2b^2 - 2a^2) + (4b - 4a) > 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$ab(b - a) - 2(b^2 - a^2) + 4(b - a) > 0$

Применим формулу разности квадратов $b^2 - a^2 = (b - a)(b + a)$ ко второму слагаемому:

$ab(b - a) - 2(b - a)(b + a) + 4(b - a) > 0$

Теперь можно вынести общий множитель $(b - a)$ за скобки:

$(b - a)(ab - 2(a + b) + 4) > 0$

Упростим выражение во второй скобке и разложим его на множители:

$(b - a)(ab - 2a - 2b + 4) > 0$

$(b - a)(a(b - 2) - 2(b - 2)) > 0$

$(b - a)(a - 2)(b - 2) > 0$

Теперь рассмотрим знаки каждого из трех множителей, исходя из условия задачи $a < b < 2$.

1. Множитель $(b - a)$: поскольку по условию $a < b$, разность $b - a$ всегда будет положительной, то есть $b - a > 0$.

2. Множитель $(a - 2)$: поскольку по условию $a < 2$, разность $a - 2$ всегда будет отрицательной, то есть $a - 2 < 0$.

3. Множитель $(b - 2)$: поскольку по условию $b < 2$, разность $b - 2$ всегда будет отрицательной, то есть $b - 2 < 0$.

Теперь определим знак всего произведения:

$(b - a)(a - 2)(b - 2) \rightarrow (+) \cdot (-) \cdot (-) \rightarrow (+)$

Произведение положительного числа на два отрицательных числа является положительным числом. Следовательно, неравенство $(b - a)(a - 2)(b - 2) > 0$ истинно.

Поскольку все преобразования были равносильными, то и исходное неравенство $a^2b + 2b^2 + 4a < ab^2 + 2a^2 + 4b$ также является истинным при заданных условиях.

Ответ: Неравенство доказано.