Номер 945, страница 270 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

945. Найдите множество решений неравенства:

1) $(2x - 3)^2 \le (4x - 1)(x - 2) + 7;$

2) $(x - 2)(2 + x) \ge 2 - (x + 4)(1 - x);$

3) $\frac{1 - x}{2} + 3 < 3x - \frac{2x + 1}{4};$

4) $\frac{3x - 37}{2} - 9 > \frac{7 - 2x}{4} + 2x;$

5) $\frac{5x - 3}{5} \ge \frac{3x + 4}{3} - \frac{29}{15}.$

1) Решим неравенство $(2x - 3)^2 \le (4x - 1)(x - 2) + 7$.
Сначала раскроем скобки в обеих частях. В левой части используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, а в правой — правило умножения многочленов.
$(2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 \le (4x \cdot x + 4x \cdot (-2) - 1 \cdot x - 1 \cdot (-2)) + 7$
$4x^2 - 12x + 9 \le (4x^2 - 8x - x + 2) + 7$
Приведем подобные слагаемые в правой части:
$4x^2 - 12x + 9 \le 4x^2 - 9x + 9$
Теперь упростим неравенство. Вычтем $4x^2$ из обеих частей:
$-12x + 9 \le -9x + 9$
Вычтем 9 из обеих частей:
$-12x \le -9x$
Перенесем все члены с $x$ в правую часть, чтобы коэффициент при $x$ был положительным:
$0 \le -9x + 12x$
$0 \le 3x$
Разделим обе части на 3. Так как 3 — положительное число, знак неравенства сохраняется:
$0 \le x$, что то же самое, что и $x \ge 0$.
Множество решений неравенства — это все числа, большие или равные нулю.
Ответ: $x \in [0, +\infty)$.

2) Решим неравенство $(x - 2)(2 + x) \ge 2 - (x + 4)(1 - x)$.
Раскроем скобки. Левая часть является разностью квадратов: $(x - 2)(x + 2) = x^2 - 4$.
$x^2 - 4 \ge 2 - (x - x^2 + 4 - 4x)$
Приведем подобные в скобках в правой части:
$x^2 - 4 \ge 2 - (-x^2 - 3x + 4)$
Раскроем скобки в правой части:
$x^2 - 4 \ge 2 + x^2 + 3x - 4$
$x^2 - 4 \ge x^2 + 3x - 2$
Вычтем $x^2$ из обеих частей:
$-4 \ge 3x - 2$
Перенесем свободные члены в левую часть, а члены с переменной оставим справа:
$-4 + 2 \ge 3x$
$-2 \ge 3x$
Разделим обе части на 3. Знак неравенства не меняется:
$-\frac{2}{3} \ge x$, что эквивалентно $x \le -\frac{2}{3}$.
Множество решений — это все числа, меньшие или равные $-\frac{2}{3}$.
Ответ: $x \in (-\infty, -2/3]$.

3) Решим неравенство $\frac{1 - x}{2} + 3 < 3x - \frac{2x + 1}{4}$.
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, равный 4.
$4 \cdot \frac{1 - x}{2} + 4 \cdot 3 < 4 \cdot 3x - 4 \cdot \frac{2x + 1}{4}$
$2(1 - x) + 12 < 12x - (2x + 1)$
Раскроем скобки:
$2 - 2x + 12 < 12x - 2x - 1$
Приведем подобные слагаемые в каждой части:
$14 - 2x < 10x - 1$
Соберем члены с $x$ в правой части, а константы — в левой:
$14 + 1 < 10x + 2x$
$15 < 12x$
Разделим обе части на 12:
$\frac{15}{12} < x$
Сократим дробь $\frac{15}{12} = \frac{5}{4}$.
$\frac{5}{4} < x$, или $x > \frac{5}{4}$.
Множество решений — это все числа, строго большие $\frac{5}{4}$.
Ответ: $x \in (5/4, +\infty)$.

4) Решим неравенство $\frac{3x - 37}{2} - 9 > \frac{7 - 2x}{4} + 2x$.
Умножим обе части на наименьший общий знаменатель, равный 4.
$4 \cdot \left(\frac{3x - 37}{2} - 9\right) > 4 \cdot \left(\frac{7 - 2x}{4} + 2x\right)$
$2(3x - 37) - 36 > (7 - 2x) + 8x$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$6x - 74 - 36 > 7 + 6x$
$6x - 110 > 7 + 6x$
Вычтем $6x$ из обеих частей неравенства:
$-110 > 7$
Мы получили неверное числовое неравенство, которое не зависит от $x$. Это означает, что исходное неравенство не имеет решений.
Ответ: решений нет.

5) Решим неравенство $\frac{5x - 3}{5} \ge \frac{3x + 4}{3} - \frac{29}{15}$.
Умножим обе части на наименьший общий знаменатель, равный 15.
$15 \cdot \frac{5x - 3}{5} \ge 15 \cdot \frac{3x + 4}{3} - 15 \cdot \frac{29}{15}$
$3(5x - 3) \ge 5(3x + 4) - 29$
Раскроем скобки:
$15x - 9 \ge 15x + 20 - 29$
Приведем подобные слагаемые в правой части:
$15x - 9 \ge 15x - 9$
Вычтем $15x$ из обеих частей:
$-9 \ge -9$
Мы получили верное числовое неравенство, которое не зависит от $x$. Это означает, что исходное неравенство справедливо для любого действительного значения $x$.
Множеством решений является множество всех действительных чисел.
Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.