Номер 950, страница 271 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

950. Найдите сумму целых решений системы неравенств:

1) $\begin{cases} 3x - 5 < 23 - 4x, \\ 7x - 9 \le 9x + 1; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 2(3x - 4) < 3(4x - 5) + 23, \\ 4(x + 1) \le 3x + 5. \end{cases}$

1) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 3x - 5 < 23 - 4x, \\ 7x - 9 \le 9x + 1. \end{cases} $

Сначала решим первое неравенство:

$3x - 5 < 23 - 4x$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$3x + 4x < 23 + 5$
$7x < 28$
Разделим обе части на 7:
$x < 4$

Теперь решим второе неравенство:

$7x - 9 \le 9x + 1$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$7x - 9x \le 1 + 9$
$-2x \le 10$
Разделим обе части на -2, изменив знак неравенства на противоположный:
$x \ge \frac{10}{-2}$
$x \ge -5$

Решением системы является пересечение полученных промежутков: $x < 4$ и $x \ge -5$.

Таким образом, решение системы: $-5 \le x < 4$.

Целые решения, удовлетворяющие этому неравенству: -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.

Найдем сумму этих целых решений:

$S = (-5) + (-4) + (-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 = (-5) + (-4) + (-3+3) + (-2+2) + (-1+1) + 0 = -5 - 4 = -9$.

Ответ: -9

2) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 2(3x - 4) < 3(4x - 5) + 23, \\ 4(x + 1) \le 3x + 5. \end{cases} $

Сначала решим первое неравенство, раскрыв скобки:

$2(3x - 4) < 3(4x - 5) + 23$
$6x - 8 < 12x - 15 + 23$
$6x - 8 < 12x + 8$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$6x - 12x < 8 + 8$
$-6x < 16$
Разделим обе части на -6, изменив знак неравенства на противоположный:
$x > \frac{16}{-6}$
$x > -\frac{8}{3}$
$x > -2\frac{2}{3}$

Теперь решим второе неравенство, раскрыв скобки:

$4(x + 1) \le 3x + 5$
$4x + 4 \le 3x + 5$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$4x - 3x \le 5 - 4$
$x \le 1$

Решением системы является пересечение полученных промежутков: $x > -2\frac{2}{3}$ и $x \le 1$.

Таким образом, решение системы: $-2\frac{2}{3} < x \le 1$.

Целые решения, удовлетворяющие этому неравенству: -2, -1, 0, 1.

Найдем сумму этих целых решений:

$S = (-2) + (-1) + 0 + 1 = -2 + (-1+1) + 0 = -2$.

Ответ: -2