Номер 957, страница 272 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

957. При каких значениях $a$ уравнение $x^2 - (2a + 2)x - 2a - 3 = 0$ имеет два различных отрицательных корня?

Для того чтобы квадратное уравнение $x^2 - (2a + 2)x - 2a - 3 = 0$ имело два различных отрицательных корня, необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись три условия, вытекающие из свойств квадратного уравнения и теоремы Виета:

1. Уравнение должно иметь два различных действительных корня. Это условие выполняется, если дискриминант уравнения $D$ строго больше нуля ($D > 0$).
Найдем дискриминант. Для уравнения $Ax^2+Bx+C=0$, $D=B^2-4AC$. В нашем случае $A=1$, $B=-(2a+2)$, $C=-2a-3$.
$D = (-(2a + 2))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2a - 3) = (2a + 2)^2 + 4(2a + 3)$
$D = (4a^2 + 8a + 4) + (8a + 12) = 4a^2 + 16a + 16 = 4(a^2 + 4a + 4) = 4(a + 2)^2$.
Теперь решим неравенство $D > 0$:
$4(a + 2)^2 > 0$
$(a + 2)^2 > 0$
Это неравенство справедливо для всех значений $a$, кроме тех, при которых $a+2=0$.
Следовательно, $a \neq -2$.

2. Сумма корней $x_1 + x_2$ должна быть отрицательной. По теореме Виета, $x_1 + x_2 = -B/A$.
$x_1 + x_2 = - \frac{-(2a + 2)}{1} = 2a + 2$.
Решим неравенство $x_1 + x_2 < 0$:
$2a + 2 < 0$
$2a < -2$
$a < -1$.

3. Произведение корней $x_1 \cdot x_2$ должно быть положительным (так как оба корня отрицательны). По теореме Виета, $x_1 \cdot x_2 = C/A$.
$x_1 \cdot x_2 = \frac{-2a - 3}{1} = -2a - 3$.
Решим неравенство $x_1 \cdot x_2 > 0$:
$-2a - 3 > 0$
$-2a > 3$
$a < -\frac{3}{2}$ или $a < -1.5$.

Чтобы найти искомые значения $a$, необходимо найти пересечение решений всех трех условий, то есть решить систему неравенств:
$\begin{cases} a \neq -2 \\ a < -1 \\ a < -1.5 \end{cases}$
Пересечением неравенств $a < -1$ и $a < -1.5$ является более строгое неравенство $a < -1.5$.
Теперь к этому решению нужно добавить условие $a \neq -2$. Поскольку значение $-2$ входит в интервал $(-\infty; -1.5)$, его необходимо исключить.
Таким образом, решением системы является объединение двух интервалов.

Ответ: $a \in (-\infty; -2) \cup (-2; -1.5)$.