Номер 991, страница 277 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

991. Из двух сёл, расстояние между которыми равно 20 км, вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода, которые встретились через 2 ч. Найдите скорость, с которой шёл каждый из них, если один пешеход преодолевает расстояние между сёлами на 1 ч 40 мин быстрее другого.

Для решения задачи введём переменные. Пусть $v_1$ км/ч — скорость первого пешехода, а $v_2$ км/ч — скорость второго пешехода. Расстояние между сёлами $S = 20$ км.

Шаг 1: Составление первого уравнения на основе времени встречи.
Пешеходы движутся навстречу друг другу, поэтому их скорость сближения равна сумме их скоростей: $v_{сбл} = v_1 + v_2$. Они встретились через $t_{встр} = 2$ ч. За это время они вместе преодолели всё расстояние $S$.
Используя формулу $S = v \cdot t$, получаем:
$20 = (v_1 + v_2) \cdot 2$
Отсюда находим сумму скоростей:
$v_1 + v_2 = \frac{20}{2} = 10$
Это первое уравнение системы.

Шаг 2: Составление второго уравнения на основе разницы во времени.
По условию, один пешеход преодолевает расстояние $S$ на 1 час 40 минут быстрее другого. Переведём эту разницу во времени в часы:
$\Delta t = 1 \text{ ч } 40 \text{ мин} = 1 + \frac{40}{60} \text{ ч} = 1 + \frac{2}{3} \text{ ч} = \frac{5}{3} \text{ ч}$.
Пусть $v_1$ — скорость более быстрого пешехода. Тогда время, которое он затратит на весь путь ($t_1$), будет меньше времени второго пешехода ($t_2$).
Время первого пешехода: $t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{20}{v_1}$.
Время второго пешехода: $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{20}{v_2}$.
Разница во времени: $t_2 - t_1 = \Delta t$.
$\frac{20}{v_2} - \frac{20}{v_1} = \frac{5}{3}$
Это второе уравнение системы.

Шаг 3: Решение системы уравнений.
Мы получили систему уравнений:
$\begin{cases} v_1 + v_2 = 10 \\ \frac{20}{v_2} - \frac{20}{v_1} = \frac{5}{3} \end{cases}$
Из первого уравнения выразим $v_2$: $v_2 = 10 - v_1$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$\frac{20}{10 - v_1} - \frac{20}{v_1} = \frac{5}{3}$
Для упрощения разделим обе части уравнения на 5:
$\frac{4}{10 - v_1} - \frac{4}{v_1} = \frac{1}{3}$
Приведём левую часть к общему знаменателю $v_1(10 - v_1)$:
$\frac{4v_1 - 4(10 - v_1)}{v_1(10 - v_1)} = \frac{1}{3}$
$\frac{4v_1 - 40 + 4v_1}{10v_1 - v_1^2} = \frac{1}{3}$
$\frac{8v_1 - 40}{10v_1 - v_1^2} = \frac{1}{3}$
По свойству пропорции (перекрёстное умножение):
$3(8v_1 - 40) = 1(10v_1 - v_1^2)$
$24v_1 - 120 = 10v_1 - v_1^2$
Перенесём все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$v_1^2 + 24v_1 - 10v_1 - 120 = 0$
$v_1^2 + 14v_1 - 120 = 0$

Шаг 4: Решение квадратного уравнения.
Решим уравнение $v_1^2 + 14v_1 - 120 = 0$ с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 196 + 480 = 676$.
$\sqrt{D} = \sqrt{676} = 26$.
Находим корни:
$v_{1,1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 + 26}{2} = \frac{12}{2} = 6$.
$v_{1,2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 - 26}{2} = \frac{-40}{2} = -20$.
Скорость не может быть отрицательной, поэтому корень -20 не подходит по смыслу задачи. Следовательно, скорость первого (быстрого) пешехода $v_1 = 6$ км/ч.

Шаг 5: Нахождение скорости второго пешехода.
Возвращаемся к первому уравнению:
$v_2 = 10 - v_1 = 10 - 6 = 4$.
Скорость второго пешехода $v_2 = 4$ км/ч.

Ответ: скорость одного пешехода 6 км/ч, а скорость другого — 4 км/ч.