Страница 296 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

2. Системы линейных неравенств и решение экономических задач

Рекомендуемая литература

Олейников Б., Бузницкий П., Дубсон М. Симплекс метод // Квант. – 1976. – № 7.

Рейтман М.И. Транспортная задача // Квант. – 1974. – № 6.

Солодовников А.С. Системы линейных неравенств. – М. : Наука, 1977.

На изображении представлен раздел учебного материала "Системы линейных неравенств и решение экономических задач" и список рекомендуемой литературы по этой теме. Вопроса или задачи для решения на изображении нет. Ниже приведено развернутое объяснение данной темы.

1. Системы линейных неравенств

Линейное неравенство с $n$ переменными $x_1, x_2, \dots, x_n$ — это неравенство вида $a_1x_1 + a_2x_2 + \dots + a_nx_n \le b$ (или с другим знаком: $\ge$, <, $>$, где $a_i$ и $b$ — известные числа. Система линейных неравенств — это совокупность двух или более таких неравенств, которые должны выполняться одновременно.

Решением системы является набор значений переменных, удовлетворяющий всем неравенствам сразу. Геометрически, в двумерном пространстве (с переменными $x$ и $y$) каждое линейное неравенство задает полуплоскость. Решение системы — это пересечение всех этих полуплоскостей. Эта область пересечения называется областью допустимых решений (ОДР) и всегда представляет собой выпуклый многоугольник (возможно, неограниченный).

Например, система неравенств:

$x + 2y \le 8$
$3x + y \le 9$
$x \ge 0$
$y \ge 0$

задает на плоскости выпуклый четырехугольник, ограниченный осями координат и двумя прямыми. Любая точка внутри этого четырехугольника или на его границах является решением системы. В пространствах большей размерности ОДР представляет собой выпуклый многогранник.

Ответ: Системы линейных неравенств определяют область допустимых решений в виде выпуклого многогранника, что является основой для постановки и решения задач оптимизации.

2. Постановка экономической задачи (задачи линейного программирования)

Многие экономические задачи сводятся к поиску наилучшего (оптимального) способа использования ограниченных ресурсов для достижения максимальной прибыли или минимальных затрат. Такие задачи можно формализовать в виде задач линейного программирования (ЛП).

Стандартная задача ЛП включает в себя три основных компонента:

1. Целевая функция. Это линейная функция, которую необходимо максимизировать или минимизировать. Она описывает цель задачи, например, общую прибыль или суммарные издержки. Вид функции: $Z = c_1x_1 + c_2x_2 + \dots + c_nx_n \to \max$ (или $\min$).
2. Система ограничений. Это система линейных неравенств (или равенств), которая описывает условия задачи: ограниченность ресурсов, производственные мощности, требования спроса и т.д.
3. Ограничения неотрицательности. Переменные решения (например, объемы производства) не могут быть отрицательными: $x_j \ge 0$.

Например, задача о производстве. Фабрика производит два вида продукции, А ($x_1$ единиц) и B ($x_2$ единиц). Прибыль от единицы продукции А равна $c_1$, от B — $c_2$. Для производства требуются ресурсы (труд, сырье), запасы которых ограничены. Задача состоит в том, чтобы найти такие объемы производства $x_1$ и $x_2$, которые максимизируют общую прибыль $Z = c_1x_1 + c_2x_2$ при соблюдении ресурсных ограничений.

Ответ: Экономические задачи часто формулируются как задачи линейного программирования, где требуется оптимизировать (максимизировать или минимизировать) линейную целевую функцию при выполнении системы линейных ограничений.

3. Методы решения задач линейного программирования

Для решения задач ЛП используются различные методы. Основная теорема ЛП гласит, что если оптимальное решение существует, то оно достигается в одной из вершин области допустимых решений.

• Графический метод. Применим для задач с двумя переменными. Метод заключается в построении ОДР на плоскости и нахождении вершины, в которой целевая функция достигает своего оптимального значения. Для этого строят линию уровня целевой функции $c_1x_1 + c_2x_2 = const$ и перемещают ее параллельно самой себе в направлении вектора градиента $\vec{c} = (c_1, c_2)$ (для максимизации) до тех пор, пока она не коснется последней точки ОДР. Эта точка и будет решением.
• Симплекс-метод. Это универсальный алгебраический метод, упомянутый в списке литературы (Олейников, Бузницкий, Дубсон). Он позволяет решать задачи ЛП с любым числом переменных. Идея метода заключается в итерационном переходе от одной вершины ОДР к соседней по ребру многогранника, причем на каждом шаге значение целевой функции улучшается. Процесс продолжается до тех пор, пока не будет найдена вершина, в которой значение целевой функции является оптимальным (т.е. переход в любую соседнюю вершину его не улучшит).

Ответ: Основными методами решения задач ЛП являются графический метод (для двух переменных) и универсальный симплекс-метод, который итерационно находит оптимальное решение, перемещаясь по вершинам области допустимых решений.

4. Пример: Транспортная задача

Транспортная задача, упомянутая в литературе (Рейтман М.И.), — это классический пример задачи линейного программирования.

Постановка задачи: Имеется $m$ складов (пунктов отправления), на каждом из которых находится определенное количество однородного товара ($a_1, a_2, \dots, a_m$). Этот товар необходимо доставить $n$ потребителям (пунктам назначения), потребности которых составляют $b_1, b_2, \dots, b_n$. Известна стоимость $c_{ij}$ перевозки единицы товара со склада $i$ потребителю $j$. Требуется составить такой план перевозок, чтобы все потребности были удовлетворены, а суммарные транспортные расходы были минимальны.

Математическая модель:

Пусть $x_{ij}$ — количество товара, перевозимого со склада $i$ потребителю $j$.

• Целевая функция (минимизация затрат): $Z = \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} c_{ij} x_{ij} \to \min$
• Ограничения по запасам на складах: $\sum_{j=1}^{n} x_{ij} = a_i$ для каждого склада $i=1, \dots, m$ (вывозится весь товар).
• Ограничения по потребностям: $\sum_{i=1}^{m} x_{ij} = b_j$ для каждого потребителя $j=1, \dots, n$ (спрос удовлетворяется полностью).
• Ограничение неотрицательности: $x_{ij} \ge 0$.

Обязательным условием для этой (закрытой) модели является равенство суммарных запасов и суммарных потребностей: $\sum a_i = \sum b_j$. Данная задача решается как симплекс-методом, так и более эффективными специализированными алгоритмами (например, методом потенциалов).

Ответ: Транспортная задача — это задача ЛП по минимизации затрат на перевозку товаров от поставщиков к потребителям при заданных объемах поставок, потребностях и стоимости перевозок.

3. От тайнописи к криптографии

Рекомендуемая литература

Василего И.П. Теория чисел в криптографии (для школьников) : методические указания. – Оренбург : ГОУ ОГУ, 2004.

Жельников В. Криптография от папируса до компьютера. – М. : ABF, 1996.

Игнатьев Е. О шифрах // Квант. – 1991. – № 4.

Перельман Я.И. Живая математика. – М. : Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1967.

Ященко В.В. Введение в криптографию. – М. : МЦНМО, 1999.

3. От тайнописи к криптографии

Рекомендуемая литература

Поскольку на изображении представлен список литературы, а не задача или вопрос, в качестве развернутого ответа будет представлена точная транскрипция текста с соблюдением всех библиографических правил и форматирования, как того требуют инструкции.

Василего И.П. Теория чисел в криптографии (для школьников) : методические указания. – Оренбург : ГОУ ОГУ, 2004.

Ответ: Приведенная запись является библиографической ссылкой на методические указания авторства И.П. Василего, изданные в Оренбурге в 2004 году. Работа посвящена теории чисел в контексте криптографии и ориентирована на школьников.

Жельников В. Криптография от папируса до компьютера. – М. : АВF, 1996.

Ответ: Это библиографическая ссылка на книгу В. Жельникова, опубликованную в Москве издательством АВF в 1996 году. Книга охватывает историю криптографии от древних времен до современных компьютерных систем.

Игнатьев Е. О шифрах // Квант. – 1991. – № 4.

Ответ: Данная запись указывает на статью Е. Игнатьева "О шифрах", которая была опубликована в научно-популярном физико-математическом журнале "Квант" в четвертом номере за 1991 год.

Перельман Я.И. Живая математика. – М. : Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1967.

Ответ: Это ссылка на книгу знаменитого популяризатора науки Я.И. Перельмана "Живая математика". Книга была издана в Москве в 1967 году Главной редакцией физико-математической литературы издательства «Наука» и содержит занимательные математические задачи и головоломки.

Ященко В.В. Введение в криптографию. – М. : МЦНМО, 1999.

Ответ: Приведена ссылка на учебное пособие В.В. Ященко "Введение в криптографию". Оно было выпущено в Москве издательством МЦНМО (Московский центр непрерывного математического образования) в 1999 году и является одним из классических введений в предмет.

4. Эффективные методы доказательства неравенств

Рекомендуемая литература

Алексеев Р.Б., Курляндчик Л.Д. Нетрадиционные способы доказательства традиционных неравенств // Математика в школе. — 1991. — № 4.

Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. — М. : Мир, 1965.

Дворянинов С.В., Ясиновый Э.А. Как получаются симметрические неравенства // Квант. — 1985. — № 5.

Ижболдин И., Курляндчик Л. Неравенство Иенсена // Квант. — 2000. — № 4.

Курляндчик Л., Файбусович А. История одного неравенства // Квант. — 1991. — № 4.

Пинтер Л., Хегедыш Й. Упорядоченные наборы чисел и неравенства // Квант. — 1985. — № 12.

Седракян Н.М., Авоян А.М. Неравенства. Методы доказательства. — М. : Физматлит, 2002.

Сивашинский И.Х. Неравенства в задачах. — М. : Наука, 1967.

Алексеев Р.Б., Курляндчик Л.Д. Нетрадиционные способы доказательства традиционных неравенств // Математика в школе. — 1991. — № 4. Ответ:

Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. — М. : Мир, 1965. Ответ:

Дворянинов С.В., Ясиновый Э.А. Как получаются симметрические неравенства // Квант. — 1985. — № 5. Ответ:

Ижболдин И., Курляндчик Л. Неравенство Иенсена // Квант. — 2000. — № 4. Ответ:

Курляндчик Л., Файбусович А. История одного неравенства // Квант. — 1991. — № 4. Ответ:

Пинтер Л., Хегедыш Й. Упорядоченные наборы чисел и неравенства // Квант. — 1985. — № 12. Ответ:

Седракян Н.М., Авоян А.М. Неравенства. Методы доказательства. — М. : Физматлит, 2002. Ответ:

Сивашинский И.Х. Неравенства в задачах. — М. : Наука, 1967. Ответ:

5. Цепные дроби

Рекомендуемая литература

Арнольд В.И. Цепные дроби. — М. : МЦНМО, 2000.

Бескин Н.М. Бесконечные цепные дроби // Квант. — 1970. — № 8.

Бескин Н.М. Цепные дроби // Квант. — 1970. — № 1.

Виноградов И.М. Основы теории чисел. — М. ; Л. : Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1952.

Устинов А. Цепные дроби вокруг нас // Квант. — 2010. — № 2.

Хинчин А.Я. Цепные дроби. — М. : ГИФМЛ, 1960.

На изображении представлен раздел, посвященный теме "Цепные дроби", и список рекомендуемой литературы. Поскольку конкретной задачи для решения нет, ниже приведено развернутое объяснение того, что такое цепные дроби.

Цепная (или непрерывная) дробь — это представление действительного числа $\alpha$ в виде выражения:

$\alpha = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3 + \dots}}}$

где $a_0$ — целое число, а все последующие элементы $a_1, a_2, a_3, \dots$ (называемые неполными частными) — натуральные числа (то есть положительные целые). Для краткости используется запись $[a_0; a_1, a_2, a_3, \dots]$.

Процесс разложения числа в цепную дробь тесно связан с алгоритмом Евклида. Он заключается в последовательном выделении целой части числа и обращении его дробной части:

1. Пусть исходное число есть $\alpha$. Полагаем $\alpha_0 = \alpha$.
2. Первый элемент дроби $a_0$ — это целая часть $\alpha_0$: $a_0 = \lfloor \alpha_0 \rfloor$.
3. Остаток равен $\alpha_0 - a_0$. Если он равен нулю, то процесс завершен. Иначе, вычисляем следующий член последовательности $\alpha_1 = \frac{1}{\alpha_0 - a_0}$.
4. Второй элемент $a_1$ — это целая часть $\alpha_1$: $a_1 = \lfloor \alpha_1 \rfloor$.
5. Процесс повторяется: $\alpha_{k+1} = \frac{1}{\alpha_k - a_k}$ и $a_{k+1} = \lfloor \alpha_{k+1} \rfloor$ до тех пор, пока остаток не станет нулевым.

Для рациональных чисел (обыкновенных дробей) разложение в цепную дробь всегда конечно. Для иррациональных чисел — бесконечно.

Пример 1: Рациональное число

Разложим число $\frac{415}{93}$ в цепную дробь.

• $\frac{415}{93} = 4 + \frac{43}{93}$. Значит, $a_0 = 4$.
• Переворачиваем дробную часть: $\frac{1}{43/93} = \frac{93}{43} = 2 + \frac{7}{43}$. Значит, $a_1 = 2$.
• Снова переворачиваем: $\frac{1}{7/43} = \frac{43}{7} = 6 + \frac{1}{7}$. Значит, $a_2 = 6$.
• Последний шаг: $\frac{1}{1/7} = 7$. Значит, $a_3 = 7$.

Таким образом, $\frac{415}{93} = 4 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{6 + \cfrac{1}{7}}}$, что в краткой записи выглядит как $[4; 2, 6, 7]$.

Пример 2: Иррациональное число

Разложим золотое сечение $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618...$

• Целая часть $\phi$ равна 1, так что $a_0 = 1$.
• Дробная часть: $\phi - 1 = \frac{1+\sqrt{5}}{2} - 1 = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
• Переворачиваем дробь: $\frac{1}{(\sqrt{5}-1)/2} = \frac{2}{\sqrt{5}-1} = \frac{2(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)} = \frac{2(\sqrt{5}+1)}{5-1} = \frac{1+\sqrt{5}}{2} = \phi$.

Мы снова получили число $\phi$. Это означает, что процесс будет бесконечно повторяться, и все последующие неполные частные будут равны 1.Следовательно, $\phi = [1; 1, 1, 1, \dots]$. Цепная дробь для квадратичной иррациональности (как $\phi$) всегда периодична.

Подходящие дроби и применения

Если оборвать цепную дробь на каком-либо шаге, мы получим рациональное число, называемое подходящей дробью. Эти дроби являются наилучшими рациональными приближениями исходного числа. Например, для числа $\pi = [3; 7, 15, 1, \dots]$ подходящие дроби:

• $[3] = 3$
• $[3; 7] = 3 + \frac{1}{7} = \frac{22}{7}$ (приближение Архимеда)
• $[3; 7, 15] = 3 + \frac{1}{7+\frac{1}{15}} = \frac{333}{106}$
• $[3; 7, 15, 1] = \frac{355}{113}$ (очень точное приближение Цзу Чунчжи)

Цепные дроби находят применение в различных областях:

• Теория чисел: решение диофантовых уравнений (например, уравнения Пелля $x^2 - Dy^2 = 1$).
• Теория приближений: поиск наилучших рациональных приближений для констант.
• Криптография: некоторые атаки на шифр RSA основаны на разложении в цепную дробь.
• Инженерия: расчёт передаточных отношений в зубчатых передачах.

Рекомендуемая литература с изображения:

Арнольд В.И. Цепные дроби. — М. : МЦНМО, 2000.
Бескин Н.М. Бесконечные цепные дроби // Квант. — 1970. — № 8.
Бескин Н.М. Цепные дроби // Квант. — 1970. — № 1.
Виноградов И.М. Основы теории чисел. — М. ; Л. : Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1952.
Устинов А. Цепные дроби вокруг нас // Квант. — 2010. — № 2.
Хинчин А.Я. Цепные дроби. — М. : ГИФМЛ, 1960.

Ответ: На изображении представлен список литературы по теме "Цепные дроби". Цепная дробь — это способ представления действительных чисел в виде "многоэтажной" дроби с целыми элементами. Этот математический аппарат используется для нахождения наилучших рациональных приближений чисел и решения задач в теории чисел и других областях науки и техники.