Страница 300 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

Найдите в сети Интернет правила дорожного движения. Выберите из дорожных знаков те, которые задают предельно допустимые значения каких-либо числовых величин. Запишите соответствующие неравенства.

В правилах дорожного движения существует несколько групп знаков, которые задают предельно допустимые значения числовых величин. В основном это запрещающие и предписывающие знаки. Ниже приведены примеры таких знаков и соответствующие им числовые неравенства.

Ограничение максимальной скорости (знак 3.24)
Этот знак запрещает движение со скоростью (измеряется в км/ч), которая превышает значение, указанное на знаке. Пусть на знаке указано число 60, а скорость транспортного средства обозначена переменной $v$. Тогда скорость не должна быть больше 60 км/ч. Это ограничение можно записать в виде нестрогого неравенства.
Ответ: $v \le 60$.

Ограничение минимальной скорости (знак 4.6)
Этот знак, наоборот, предписывает двигаться со скоростью (в км/ч) не меньшей, чем указано на знаке. Если на знаке указано число 50, а скорость транспортного средства — $v$, то скорость должна быть равна или больше 50 км/ч.
Ответ: $v \ge 50$.

Ограничение высоты (знак 3.13)
Этот знак запрещает движение транспортных средств, габаритная высота которых (с грузом или без него) превышает указанное на знаке значение. Пусть на знаке указано 3,8 м, а высота транспортного средства — $h$. Это значит, что проехать может только транспорт, высота которого не превышает 3,8 метра.
Ответ: $h \le 3.8$.

Ограничение ширины (знак 3.14)
Этот знак запрещает движение транспортных средств, габаритная ширина которых (с грузом или без него) больше указанной на знаке. Если на знаке указано 2,5 м, а ширина транспортного средства — $w$, то для проезда ширина должна быть не более 2,5 метров.
Ответ: $w \le 2.5$.

Ограничение массы (знак 3.11)
Знак запрещает движение транспортных средств, общая фактическая масса которых (в тоннах) больше указанной на знаке. Если на знаке указано число 8, а фактическая масса транспортного средства — $m$, то масса не должна превышать 8 тонн.
Ответ: $m \le 8$.

Ограничение нагрузки на ось (знак 3.12)
Этот знак запрещает движение транспортных средств, у которых фактическая нагрузка на любую ось (в тоннах) превышает указанную на знаке. Пусть на знаке указано 6 т, а нагрузка на ось — $L$. Это означает, что нагрузка на каждую ось должна быть не более 6 тонн.
Ответ: $L \le 6$.

Ограничение минимальной дистанции (знак 3.16)
Знак запрещает движение транспортных средств с дистанцией между ними меньше указанной на знаке (в метрах). Если на знаке указано 70 м, а дистанция между автомобилями — $d$, то дистанция должна быть не менее 70 метров.
Ответ: $d \ge 70$.

Каким образом с помощью графического редактора продемонстрировать свойства числовых неравенств? Какие инструменты редактора можно при этом использовать?

Продемонстрировать свойства числовых неравенств с помощью графического редактора удобнее всего, используя числовую прямую. Это позволяет наглядно представить числа как точки на прямой и показать, как меняется их взаимное расположение при различных математических операциях. Для этого можно использовать любой графический редактор, от простого (Paint) до более продвинутого (GIMP, Inkscape), так как требуются лишь базовые инструменты: создание линий, фигур, текста, а также копирование, масштабирование и отражение объектов.

Свойство 1: Транзитивность

Если $a > b$ и $b > c$, то $a > c$.

Порядок демонстрации:

1. С помощью инструмента «Линия» нарисуйте горизонтальную числовую ось.
2. Инструментом «Фигура» (например, «Круг») или «Маркер» отметьте на оси три точки.
3. Используя инструмент «Текст», подпишите их. Сначала поставьте точку $c$. Затем, так как $b > c$, поставьте точку $b$ правее точки $c$. Наконец, так как $a > b$, поставьте точку $a$ правее точки $b$.
4. Визуально становится очевидно, что точка $a$ расположена правее точки $c$, что и иллюстрирует неравенство $a > c$. Для лучшего восприятия точки можно выделить разными цветами.

Ответ: Свойство транзитивности демонстрируется через последовательное расположение точек на числовой прямой, где их взаимное положение ($a$ правее $b$, $b$ правее $c$) наглядно показывает итоговое соотношение ($a$ правее $c$).

Свойство 2: Прибавление числа к обеим частям неравенства

Если $a > b$, то для любого числа $c$ верно $a + c > b + c$.

Порядок демонстрации:

1. Нарисуйте числовую ось и отметьте на ней точки $a$ и $b$ так, чтобы $a$ была правее $b$.
2. Для случая $c > 0$ нарисуйте отдельный вектор (стрелку), направленный вправо, который символизирует прибавление числа $c$.
3. Используя инструменты «Копировать» и «Вставить», создайте две копии этого вектора.
4. Приложите начало первого вектора к точке $b$ — его конец укажет на положение точки $b+c$.
5. Приложите начало второго вектора к точке $a$ — его конец укажет на положение точки $a+c$.
6. Так как обе точки были смещены на одинаковое расстояние в одном направлении, их относительный порядок сохранился: $a+c$ по-прежнему находится правее $b+c$.
7. Аналогично можно показать случай $c < 0$: вектор смещения будет направлен влево, но взаимное расположение точек также не изменится.

Ответ: Свойство иллюстрируется применением к точкам $a$ и $b$ одинакового вектора смещения (сдвига), что наглядно показывает сохранение их взаимного порядка на числовой прямой.

Свойство 3: Умножение обеих частей неравенства на положительное число

Если $a > b$ и $c > 0$, то $ac > bc$.

Порядок демонстрации:

1. Нарисуйте числовую ось с отмеченным началом координат (точкой 0). Отметьте точки $a$ и $b$ (например, $a > b > 0$).
2. Расстояние от 0 до $a$ (длина отрезка $[0, a]$) больше, чем расстояние от 0 до $b$.
3. Умножение на $c > 1$ можно показать как операцию «Масштабирование» (растяжение) относительно точки 0. Выделите всю ось вместе с точками $a$ и $b$ и увеличьте ее масштаб. Расстояния от 0 до всех точек увеличатся пропорционально.
4. Новые точки $ac$ и $bc$ будут расположены дальше от нуля, но точка $ac$ по-прежнему будет дальше, чем $bc$. Таким образом, $ac > bc$.
5. Если $0 < c < 1$, операция будет соответствовать сжатию, но относительное положение точек, находящихся по одну сторону от нуля, сохранится.

Ответ: Свойство демонстрируется через операцию масштабирования (растяжения/сжатия) числовой оси относительно нуля. Эта операция сохраняет порядок точек, расположенных по одну сторону от нуля.

Свойство 4: Умножение обеих частей неравенства на отрицательное число

Если $a > b$ и $c < 0$, то $ac < bc$.

Порядок демонстрации:

1. Нарисуйте числовую ось с точкой 0. Отметьте точки $a$ и $b$ так, что $a > b$ (например, обе положительные).
2. Умножение на $-1$ эквивалентно симметричному отражению относительно точки 0. Это можно показать, нарисовав дуги, соединяющие точку $a$ с $-a$ и $b$ с $-b$ через центр 0. Некоторые графические редакторы имеют инструмент «Отразить», или можно просто перенести точки вручную на те же расстояния по другую сторону от нуля.
3. В результате отражения точка $a$, которая была правее точки $b$, станет точкой $-a$, которая окажется левее точки $-b$.
4. Таким образом, из $a > b$ получается $-a < -b$. Знак неравенства изменился.
5. Умножение на любое отрицательное $c$ — это комбинация масштабирования на $|c|$ и отражения. Ключевым шагом, меняющим знак неравенства, является именно отражение.

Ответ: Свойство демонстрируется операцией симметричного отражения точек относительно начала координат, которая меняет их взаимный порядок на противоположный и, следовательно, изменяет знак неравенства.

К § 4 «Неравенства с одной переменной»

Нарисуйте с помощью графического редактора координатную прямую. Проиллюстрируйте решение примеров 98, 99, 106. Какие инструменты графического редактора помогли наглядно продемонстрировать ход решения?

Поскольку условия примеров 98, 99 и 106 не предоставлены в задании, для демонстрации решения будут использованы типичные неравенства из данной темы.

Решим линейное неравенство $5x - 7 > 3$.

1. Перенесем свободные члены в правую часть неравенства, изменив знак:

$5x > 3 + 7$

$5x > 10$

2. Разделим обе части неравенства на положительное число 5. Знак неравенства при этом не меняется:

$x > 2$

Решением неравенства является числовой промежуток $(2; +\infty)$.

Проиллюстрируем решение на координатной прямой. Отмечаем точку 2. Так как неравенство строгое ($>$), точка изображается "выколотой" (пустым кружком). Решения находятся правее этой точки, поэтому заштриховываем область справа от 2.

Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

Решим неравенство $3(x - 1) \le 8 - 2x$.

1. Раскроем скобки в левой части:

$3x - 3 \le 8 - 2x$

2. Перенесем слагаемые, содержащие переменную, в левую часть, а свободные члены — в правую:

$3x + 2x \le 8 + 3$

$5x \le 11$

3. Разделим обе части на 5:

$x \le \frac{11}{5}$

$x \le 2.2$

Решением является числовой промежуток $(-\infty; 2.2]$.

Иллюстрация на координатной прямой: отмечаем точку 2.2. Так как неравенство нестрогое ($\le$), точка изображается "закрашенной" (сплошным кружком). Решения находятся левее этой точки, поэтому штрихуем область слева от 2.2.

Ответ: $x \in (-\infty; 2.2]$.

Решим двойное неравенство $-5 < 2x + 1 \le 9$.

1. Данное неравенство равносильно системе двух неравенств:

$\begin{cases} 2x + 1 > -5 \\ 2x + 1 \le 9 \end{cases}$

2. Решим каждое неравенство по отдельности. Можно также решать двойное неравенство, выполняя операции со всеми тремя частями одновременно. Вычтем 1 из всех частей:

$-5 - 1 < 2x \le 9 - 1$

$-6 < 2x \le 8$

3. Разделим все части на 2:

$-3 < x \le 4$

Решением является числовой промежуток $(-3; 4]$.

На координатной прямой отмечаем точки -3 и 4. Точка -3 "выколотая", так как неравенство строгое ($>$). Точка 4 "закрашенная", так как неравенство нестрогое ($\le$). Решением является интервал между этими точками, который мы и заштриховываем.

Ответ: $x \in (-3; 4]$.

Для наглядной демонстрации решения неравенств на координатной прямой с помощью графического редактора (например, встроенного в текстовый процессор или специализированной программы) полезны следующие инструменты:

• Линия/Отрезок: для рисования самой координатной оси и перпендикулярных засечек для обозначения чисел.
• Стрелка: для указания положительного направления оси (обычно вставляется на правый конец линии).
• Текст: для подписи чисел на оси (например, 0, 2, -3) и обозначения самой оси (например, переменной $x$).
• Эллипс/Круг: для изображения точек на оси. Важна возможность настройки заливки и контура:
  • Для строгих неравенств (<, $>$) используется круг без заливки ("выколотая точка").
  • Для нестрогих неравенств ($\le$, $\ge$) используется круг с заливкой ("закрашенная точка").
• Прямоугольник или толстая линия: для штриховки (выделения) числового промежутка, который является решением неравенства. Использование полупрозрачного цвета для заливки прямоугольника позволяет видеть ось под выделенной областью.
• Группировка объектов: после создания всех элементов (ось, точки, штриховка, текст) их можно сгруппировать, чтобы они вели себя как единый объект. Это удобно при перемещении или изменении размера иллюстрации.

К § 5 «Решение линейных неравенств с одной переменной.

Числовые промежутки»

Выполните задания 110, 111, 112 с помощью графического редактора.

На предоставленном изображении содержится только заголовок темы и указание выполнить задания 110, 111 и 112. Текст самих заданий отсутствует. Чтобы дать точное и развернутое решение, необходимо знать условия этих задач.

Однако, я могу предоставить общее руководство по теме «Решение линейных неравенств с одной переменной. Числовые промежутки», которое поможет вам справиться с подобными заданиями.

Общий подход к решению

Линейное неравенство с одной переменной — это неравенство вида $ax + b > 0$, $ax + b < 0$, $ax + b \ge 0$ или $ax + b \le 0$, где $a$ и $b$ — некоторые числа, а $x$ — переменная.

При решении неравенств используются следующие правила преобразования (равносильные преобразования):

• Можно переносить слагаемые из одной части неравенства в другую, меняя их знак на противоположный.

• Можно умножать или делить обе части неравенства на одно и то же положительное число. Знак неравенства при этом не меняется.

• Можно умножать или делить обе части неравенства на одно и то же отрицательное число. Знак неравенства при этом меняется на противоположный ($>$ на <, $\ge$ на $\le$ и наоборот).

Пример решения:

Решим неравенство $5x - 15 < 2(x+3)$.

1. Раскроем скобки в правой части: $5x - 15 < 2x + 6$.

2. Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую, изменив их знаки:

$5x - 2x < 6 + 15$

3. Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

$3x < 21$

4. Разделим обе части неравенства на положительное число 3. Знак неравенства при этом не меняется:

$x < \frac{21}{3}$

$x < 7$

Ответ: $x < 7$.

Решение неравенства обычно записывается в виде числового промежутка. Для этого используются круглые и квадратные скобки.

• Круглые скобки ( ) используются для строгих неравенств (< или $>$). Они показывают, что граничное значение не включается в промежуток. На числовой оси такая точка изображается «выколотой» (пустым кружком).

• Квадратные скобки [ ] используются для нестрогих неравенств ($\le$ или $\ge$). Они показывают, что граничное значение включается в промежуток. На числовой оси такая точка изображается «закрашенной» (сплошным кружком).

Примеры записи промежутков и их графическое представление:

Указание «с помощью графического редактора» означает, что нужно изобразить решение на числовой оси.

1. Решение $x < 7$ (из нашего примера).

   Запись в виде промежутка: $(-\infty; 7)$.

   Графическое представление: на числовой оси отмечается выколотая точка 7, и заштриховывается область слева от нее.

   Ответ: $(-\infty; 7)$.

2. Неравенство $y \ge -2$.

   Запись в виде промежутка: $[-2; +\infty)$.

   Графическое представление: на числовой оси отмечается закрашенная точка -2, и заштриховывается область справа от нее.

   Ответ: $[-2; +\infty)$.

3. Двойное неравенство $-3 \le z < 4$.

   Запись в виде промежутка: $[-3; 4)$.

   Графическое представление: на числовой оси отмечается закрашенная точка -3 и выколотая точка 4. Заштриховывается область между ними.

   Ответ: $[-3; 4)$.

Пожалуйста, предоставьте условия задач 110, 111 и 112, и я с радостью решу их для вас подробно и с объяснениями.