Страница 302 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

Парабола задана уравнением $y = ax^2 + bx + c$. Запишите алгоритм для определения таких характеристик параболы: направление ветвей, координаты вершины, точки пересечения с осями координат, входными данными для которого являются значения $a, b, c$.

Пользуясь этим алгоритмом, определите, какой участок параболы целесообразно изобразить на графике. Автоматизируйте процесс составления соответствующей таблицы значений функции и постройте график по полученной таблице. Как вы будете выбирать значения аргумента функции для этой таблицы, чтобы график получился как можно более точным?

Алгоритм для определения характеристик параболы

Входные данные: коэффициенты $a, b, c$ для уравнения параболы $y = ax^2 + bx + c$.

Шаг 1: Определение направления ветвей.

Анализируем знак старшего коэффициента $a$.

- Если $a > 0$, то ветви параболы направлены вверх.

- Если $a < 0$, то ветви параболы направлены вниз.

Шаг 2: Нахождение координат вершины.

Вершина параболы имеет координаты $(x_v, y_v)$.

- Абсцисса вершины вычисляется по формуле: $x_v = -\frac{b}{2a}$.

- Ордината вершины находится подстановкой $x_v$ в уравнение параболы: $y_v = a(x_v)^2 + b(x_v) + c$.

Шаг 3: Нахождение точек пересечения с осями координат.

Пересечение с осью ординат (Oy):

Для нахождения этой точки нужно принять $x = 0$.

$y = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = c$.

Координаты точки пересечения с осью Oy: $(0, c)$.

Пересечение с осью абсцисс (Ox):

Для нахождения этих точек нужно решить квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$, приняв $y = 0$.

1. Вычисляем дискриминант: $D = b^2 - 4ac$.

2. Анализируем знак дискриминанта:

- Если $D > 0$, парабола пересекает ось Ox в двух точках. Их абсциссы (корни уравнения) находятся по формуле: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$. Координаты точек: $(x_1, 0)$ и $(x_2, 0)$.

- Если $D = 0$, парабола касается оси Ox в одной точке — своей вершине. Абсцисса точки касания: $x = -\frac{b}{2a}$. Координаты точки: $(-\frac{b}{2a}, 0)$.

- Если $D < 0$, парабола не пересекает ось Ox. Корней у уравнения нет.

Ответ: Вышеописанный трехшаговый алгоритм позволяет найти ключевые характеристики параболы (направление ветвей, координаты вершины, точки пересечения с осями) по ее коэффициентам $a, b, c$.

Определение участка для построения и автоматизация процесса

Используя характеристики, полученные с помощью алгоритма, можно определить, какой участок параболы наиболее важен для изображения на графике.

Выбор участка для изображения: Целесообразно изображать участок параболы, в центре которого находится её вершина $(x_v, y_v)$. Этот участок наиболее информативен, так как он включает точку экстремума (минимум или максимум) и наглядно демонстрирует симметрию графика. Границы графика по оси $x$ следует выбирать так, чтобы в них попали все ключевые точки: вершина, точки пересечения с осями координат (если они существуют).

Автоматизация составления таблицы и построение графика:

1. Центральная точка. В качестве основы для таблицы значений выбираем вершину параболы $(x_v, y_v)$, так как она является точкой, относительно которой график симметричен.

2. Выбор симметричных точек. Задаем некоторый шаг $h$ (например, $h=1$ или $h=0.5$) и выбираем значения аргумента $x$ симметрично относительно $x_v$: $x_v \pm h$, $x_v \pm 2h$, $x_v \pm 3h$ и т.д. Благодаря свойству симметрии параболы, значения функции в точках, равноудаленных от вершины, будут одинаковы: $y(x_v - k \cdot h) = y(x_v + k \cdot h)$. Это позволяет сократить вычисления.

3. Составление таблицы. На основе этих точек составляется таблица пар $(x, y)$.

4. Построение графика. На координатной плоскости отмечаются все найденные точки: вершина, точки пересечения с осями и дополнительные точки из таблицы. Затем они соединяются плавной кривой, учитывая направление ветвей параболы.

Ответ: Для построения графика следует выбирать участок, центрированный на вершине параболы, и включающий все точки пересечения с осями. Автоматизация составления таблицы значений достигается путем симметричного выбора точек относительно вершины, что упрощает вычисления и обеспечивает точное отображение формы параболы.

Выбор значений аргумента для более точного графика

Чтобы график получился как можно более точным, необходимо правильно выбрать значения аргумента ($x$) для таблицы. Основные принципы выбора следующие:

1. Плотность точек. Чем больше точек мы вычислим и нанесем на график, тем точнее будет кривая. Для повышения точности следует уменьшать шаг $h$ между соседними значениями $x$. Например, вместо шага $h=1$ можно взять $h=0.5$ или $h=0.25$. Это особенно важно вблизи вершины, где кривизна параболы максимальна.

2. Диапазон значений. Выбранный диапазон значений $x$ должен быть достаточным, чтобы показать общую форму параболы. Он должен быть центрирован вокруг абсциссы вершины $x_v$. Диапазон зависит от "ширины" параболы, которая определяется коэффициентом $a$:

- Если $|a|$ — большое число (например, $a=5$ или $a=-10$), парабола будет "узкой". В этом случае достаточно небольшого диапазона $x$ вокруг вершины, но с малым шагом, чтобы детально прорисовать изгиб.

- Если $|a|$ — малое число (например, $a=0.1$ или $a=-0.2$), парабола будет "широкой". Здесь потребуется больший диапазон значений $x$, чтобы график не выглядел как почти прямая линия.

3. Включение ключевых точек. Всегда следует включать в таблицу и на график ключевые точки, найденные ранее: вершину $(x_v, y_v)$, точку пересечения с осью Oy $(0, c)$, и точки пересечения с осью Ox $(x_{1,2}, 0)$ (если $D \ge 0$). Эти точки являются "опорными" для построения.

Ответ: Для получения более точного графика следует выбирать значения аргумента $x$ чаще (с меньшим шагом) и симметрично относительно вершины параболы, обязательно включая в расчет все ключевые точки (вершину, пересечения с осями). Масштаб и шаг подбираются в зависимости от коэффициента $a$.

Пользуясь таблицей, приведённой в § 12, запишите алгоритм для решения квадратного неравенства $ax^2 + bx + c > 0$, входными данными для которого являются значения $a, b, c$.

Какие входные данные надо добавить к этому алгоритму и как изменить его, чтобы с его помощью решать также неравенства $ax^2 + bx + c < 0, ax^2 + bx + c \geq 0, ax^2 + bx + c \leq 0$?

Пользуясь таблицей, приведённой в § 12, запишите алгоритм для решения квадратного неравенства $ax^2 + bx + c > 0$, входными данными для которого являются значения $a, b, c$.

Алгоритм решения квадратного неравенства вида $ax^2 + bx + c > 0$ основывается на нахождении корней соответствующего квадратного уравнения и анализе знака коэффициента $a$.

1. Получить входные данные: коэффициенты $a, b, c$. Убедиться, что $a \neq 0$, так как в противном случае неравенство не является квадратным.

2. Вычислить дискриминант квадратного трехчлена по формуле: $D = b^2 - 4ac$.

3. Проанализировать значение дискриминанта $D$:

   • Если $D > 0$, то квадратный трехчлен имеет два различных корня.
     Найти корни уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ по формулам: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$ и $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$.
     Далее, проанализировать знак коэффициента $a$:

     • Если $a > 0$ (ветви параболы направлены вверх), то трехчлен положителен на промежутках вне корней. Решение: $x \in (-\infty; x_1) \cup (x_2; \infty)$ (при условии $x_1 < x_2$).

     • Если $a < 0$ (ветви параболы направлены вниз), то трехчлен положителен на промежутке между корнями. Решение: $x \in (x_1; x_2)$ (при условии $x_1 < x_2$).

   • Если $D = 0$, то квадратный трехчлен имеет один корень (кратности 2).
     Найти корень по формуле: $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
     Далее, проанализировать знак коэффициента $a$:

     • Если $a > 0$, трехчлен положителен при всех значениях $x$, кроме $x_0$. Решение: $x \in (-\infty; x_0) \cup (x_0; \infty)$.

     • Если $a < 0$, трехчлен никогда не бывает положительным (он либо равен нулю в точке $x_0$, либо отрицателен). Решений нет. Ответ: $\emptyset$.

   • Если $D < 0$, то квадратный трехчлен не имеет действительных корней.
     Далее, проанализировать знак коэффициента $a$:

     • Если $a > 0$, трехчлен положителен при любых значениях $x$. Решение: $x \in (-\infty; \infty)$.

     • Если $a < 0$, трехчлен отрицателен при любых значениях $x$. Решений нет. Ответ: $\emptyset$.

Ответ: Вышеописанный алгоритм позволяет найти решение неравенства $ax^2 + bx + c > 0$.

Какие входные данные надо добавить к этому алгоритму и как изменить его, чтобы с его помощью решать также неравенства $ax^2 + bx + c < 0$, $ax^2 + bx + c \ge 0$, $ax^2 + bx + c \le 0$?

Для того чтобы алгоритм мог решать все четыре типа квадратных неравенств, необходимо добавить еще одно входное данное и модифицировать заключительный шаг алгоритма.

Что добавить:

К входным данным $a, b, c$ нужно добавить еще один параметр – знак неравенства. Этот параметр может быть представлен в виде символа ('<', '>', '≤', '≥') или кода, который однозначно определяет тип решаемого неравенства.

Как изменить алгоритм:

Первые два шага алгоритма (получение коэффициентов и вычисление дискриминанта) остаются без изменений. Шаг 3, который анализирует дискриминант и определяет решение, должен быть расширен. После нахождения корней (или установления их отсутствия) и анализа знака коэффициента $a$, итоговый ответ формируется на основе нового входного параметра – знака неравенства.

Изменения в шаге 3:

• Если $D > 0$ (корни $x_1, x_2$):

  • При $a>0$: для знака '<' решение $(x_1; x_2)$, для '≤' – $[x_1; x_2]$, для '>' – $(-\infty; x_1) \cup (x_2; \infty)$, для '≥' – $(-\infty; x_1] \cup [x_2; \infty)$.

  • При $a<0$: для знака '<' решение $(-\infty; x_1) \cup (x_2; \infty)$, для '≤' – $(-\infty; x_1] \cup [x_2; \infty)$, для '>' – $(x_1; x_2)$, для '≥' – $[x_1; x_2]$.

• Если $D = 0$ (корень $x_0$):

  • При $a>0$: для '<' – решений нет ($\emptyset$), для '≤' – $x = x_0$, для '>' – $(-\infty; x_0) \cup (x_0; \infty)$, для '≥' – $(-\infty; \infty)$.

  • При $a<0$: для '<' – $(-\infty; x_0) \cup (x_0; \infty)$, для '≤' – $(-\infty; \infty)$, для '>' – решений нет ($\emptyset$), для '≥' – $x = x_0$.

• Если $D < 0$ (корней нет):

  • При $a>0$: для '<' и '≤' – решений нет ($\emptyset$), для '>' и '≥' – $(-\infty; \infty)$.

  • При $a<0$: для '<' и '≤' – $(-\infty; \infty)$, для '>' и '≥' – решений нет ($\emptyset$).

Ответ: Необходимо добавить входной параметр, отвечающий за знак неравенства, и на последнем шаге алгоритма выбирать вид решения в зависимости от комбинации этого знака, знака дискриминанта и знака коэффициента $a$.

К § 13 «Системы уравнений с двумя переменными»

Вася Ошибочкин захотел решить систему уравнений таким образом: для каждого уравнения построить его график, задав в табличном редакторе таблицу соответствующих значений, а затем найти на экране компьютера точки пересечения этих графиков. В чём состоят недостатки этого плана?

План Васи Ошибочкина, несмотря на свою наглядность, имеет несколько существенных недостатков, которые не позволяют считать его надёжным методом решения систем уравнений. Эти недостатки связаны как с точностью, так и с полнотой нахождения решений.

1. Неточность определения координат
Основная проблема графического метода — это его низкая точность. Когда Вася находит точку пересечения на экране компьютера, он определяет её координаты «на глаз». Экран состоит из пикселей, и невозможно точно определить координаты, если они не являются целыми числами, которые удачно попали в узлы сетки. Даже при увеличении масштаба точность остаётся ограниченной. Аналитические методы (подстановки, сложения) лишены этого недостатка и позволяют найти абсолютно точное значение.
Ответ: Графический метод дает только приблизительные, а не точные значения координат точек пересечения.

2. Возможность пропуска решений
Вася строит графики на основе таблицы со значениями, которая охватывает лишь ограниченный диапазон. Точки пересечения могут находиться далеко за пределами этого диапазона. Например, если Вася построит графики для $x$ в интервале от $-10$ до $10$, он не увидит точку пересечения, находящуюся при $x = 100$. Кроме того, система может иметь несколько решений, и некоторые из них могут оказаться вне видимой области на экране.
Ответ: Выбранный для построения диапазон значений может не содержать всех точек пересечения, из-за чего часть решений будет пропущена.

3. Проблемы с нецелочисленными и иррациональными решениями
Этот недостаток напрямую вытекает из проблемы с точностью. Если решением системы является пара чисел, таких как $(\sqrt{2}; \frac{1}{3})$, то на графике Вася сможет определить их лишь приблизительно: $(1.41; 0.33)$. Такой ответ не является точным решением. Аналитические же методы позволяют получить ответ в виде иррациональных чисел или обыкновенных дробей, что является математически строгим.
Ответ: Метод не позволяет найти точные иррациональные или дробные решения, давая лишь их десятичные приближения.

4. Невозможность доказать отсутствие решений или их бесконечное количество
Если графики на экране не пересекаются, это еще не является строгим доказательством того, что решений нет. Возможно, линии почти параллельны и пересекутся далеко за пределами экрана. Точно так же, если два графика сливаются в один на экране, это может означать, что у системы бесконечное множество решений. Однако визуально может быть трудно отличить две очень близко расположенные кривые от одной. Аналитическое решение позволяет строго доказать, что система несовместна (решений нет) или имеет бесконечное множество решений (например, получив тождество $0=0$).
Ответ: Визуальная оценка не позволяет строго доказать, что графики никогда не пересекутся (нет решений) или что они полностью совпадают (бесконечно много решений).

5. Технические ограничения построения
Табличный редактор строит график по отдельным точкам, соединяя их отрезками или гладкими кривыми. Если функция имеет сложный вид, например, разрывы (как у $y = \frac{1}{x}$ в точке $x=0$) или резкие изломы, то построенный по точкам график может сильно искажать её реальный вид, что приведёт к неверным выводам о точках пересечения.
Ответ: Построение графика по дискретным точкам в табличном редакторе может исказить реальный вид функции и привести к ошибкам.