Номер 13, страница 302 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

К § 13 «Системы уравнений с двумя переменными»

Вася Ошибочкин захотел решить систему уравнений таким образом: для каждого уравнения построить его график, задав в табличном редакторе таблицу соответствующих значений, а затем найти на экране компьютера точки пересечения этих графиков. В чём состоят недостатки этого плана?

План Васи Ошибочкина, несмотря на свою наглядность, имеет несколько существенных недостатков, которые не позволяют считать его надёжным методом решения систем уравнений. Эти недостатки связаны как с точностью, так и с полнотой нахождения решений.

1. Неточность определения координат
Основная проблема графического метода — это его низкая точность. Когда Вася находит точку пересечения на экране компьютера, он определяет её координаты «на глаз». Экран состоит из пикселей, и невозможно точно определить координаты, если они не являются целыми числами, которые удачно попали в узлы сетки. Даже при увеличении масштаба точность остаётся ограниченной. Аналитические методы (подстановки, сложения) лишены этого недостатка и позволяют найти абсолютно точное значение.
Ответ: Графический метод дает только приблизительные, а не точные значения координат точек пересечения.

2. Возможность пропуска решений
Вася строит графики на основе таблицы со значениями, которая охватывает лишь ограниченный диапазон. Точки пересечения могут находиться далеко за пределами этого диапазона. Например, если Вася построит графики для $x$ в интервале от $-10$ до $10$, он не увидит точку пересечения, находящуюся при $x = 100$. Кроме того, система может иметь несколько решений, и некоторые из них могут оказаться вне видимой области на экране.
Ответ: Выбранный для построения диапазон значений может не содержать всех точек пересечения, из-за чего часть решений будет пропущена.

3. Проблемы с нецелочисленными и иррациональными решениями
Этот недостаток напрямую вытекает из проблемы с точностью. Если решением системы является пара чисел, таких как $(\sqrt{2}; \frac{1}{3})$, то на графике Вася сможет определить их лишь приблизительно: $(1.41; 0.33)$. Такой ответ не является точным решением. Аналитические же методы позволяют получить ответ в виде иррациональных чисел или обыкновенных дробей, что является математически строгим.
Ответ: Метод не позволяет найти точные иррациональные или дробные решения, давая лишь их десятичные приближения.

4. Невозможность доказать отсутствие решений или их бесконечное количество
Если графики на экране не пересекаются, это еще не является строгим доказательством того, что решений нет. Возможно, линии почти параллельны и пересекутся далеко за пределами экрана. Точно так же, если два графика сливаются в один на экране, это может означать, что у системы бесконечное множество решений. Однако визуально может быть трудно отличить две очень близко расположенные кривые от одной. Аналитическое решение позволяет строго доказать, что система несовместна (решений нет) или имеет бесконечное множество решений (например, получив тождество $0=0$).
Ответ: Визуальная оценка не позволяет строго доказать, что графики никогда не пересекутся (нет решений) или что они полностью совпадают (бесконечно много решений).

5. Технические ограничения построения
Табличный редактор строит график по отдельным точкам, соединяя их отрезками или гладкими кривыми. Если функция имеет сложный вид, например, разрывы (как у $y = \frac{1}{x}$ в точке $x=0$) или резкие изломы, то построенный по точкам график может сильно искажать её реальный вид, что приведёт к неверным выводам о точках пересечения.
Ответ: Построение графика по дискретным точкам в табличном редакторе может исказить реальный вид функции и привести к ошибкам.