Номер 10, страница 301 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

K § 10 «Построение графиков функций $y = f(x) + b$ и $y = f(x + a)$»

С помощью табличного редактора задайте какую-либо функцию $y = f(x)$ таблично и постройте её график. Какие изменения надо внести в таблицу, чтобы получить график функции $y = f(x) + b$? $y = f(x + a)$? $y = f(x + a) + b$? Как сделать это автоматически? Постройте таким образом несколько графиков функции $y = f(x + a) + b$ для различных значений $a$ и $b$.

Постройте график какой-либо функции $y = f(x)$ с помощью графического редактора. Какие инструменты графического редактора надо использовать, чтобы получить из этого графика график функции $y = f(x) + b$? $y = f(x + a)$? Как можно использовать полученные результаты, чтобы получить график функции $y = f(x + a) + b$?

С помощью табличного редактора

Рассмотрим, как выполнить эти построения на примере функции $y=x^2$. Для этого воспользуемся любым табличным редактором (например, Microsoft Excel, Google Sheets, LibreOffice Calc).

1. Построение исходного графика $y=f(x)$

• В столбец A введем значения аргумента $x$. Например, от -5 до 5 с шагом 0.5.
• В ячейку B1 введем название функции "y = x^2". В ячейку B2 введем формулу для вычисления функции: =A2^2. Затем скопируем эту формулу вниз для всех значений $x$.
• Выделим два столбца с данными (A и B) и построим график типа "Точечная диаграмма с гладкими кривыми". Это будет график исходной функции $y=x^2$.

2. Изменения в таблице для получения новых графиков и их автоматизация

Чтобы сделать процесс автоматическим, выделим отдельные ячейки для параметров $a$ и $b$. Например, пусть значение $a$ будет в ячейке E1, а значение $b$ — в ячейке F1. Введем туда какие-нибудь начальные значения, например, $a=2$ и $b=3$.

• Чтобы получить график функции $y = f(x) + b$:
  Это преобразование соответствует сдвигу графика вдоль оси OY на $b$ единиц.
  В таблице нужно создать новый столбец (например, C). В ячейку C2 вводится формула, которая к значению $f(x)$ из столбца B прибавляет значение параметра $b$ из ячейки F1. Формула будет выглядеть так: =B2+$F$1 (знак $ используется для абсолютной адресации, чтобы при копировании ссылка на ячейку F1 не менялась). Скопировав эту формулу вниз, мы получим столбец значений для $y = f(x)+b$. Добавляем новую серию данных (столбцы A и C) на наш график.
• Чтобы получить график функции $y = f(x + a)$:
  Это преобразование соответствует сдвигу графика вдоль оси OX на $-a$ единиц (влево, если $a>0$, и вправо, если $a<0$).
  В таблице создаем еще один столбец (например, D). В ячейку D2 вводится формула, вычисляющая значение функции для аргумента $(x+a)$. Для нашего примера $y=x^2$ формула будет: =(A2+$E$1)^2. Скопировав формулу вниз, получим столбец значений для $y = f(x+a)$. Добавляем эту серию данных (столбцы A и D) на график.
• Чтобы получить график функции $y = f(x + a) + b$:
  Это преобразование объединяет два предыдущих: сдвиг по горизонтали и по вертикали.
  Создаем столбец E. В ячейку E2 вводим формулу, которая реализует оба преобразования: =(A2+$E$1)^2+$F$1. Копируем формулу вниз и добавляем новую серию данных (столбцы A и E) на график.

Автоматизация и построение нескольких графиков:
Использование ячеек для параметров $a$ и $b$ (E1 и F1) позволяет мгновенно изменять графики. Достаточно ввести новые значения $a$ и $b$ в эти ячейки, и табличный редактор автоматически пересчитает все значения в столбцах C, D, E и обновит соответствующие кривые на диаграмме. Таким образом можно легко построить и проанализировать несколько графиков для различных значений $a$ и $b$.

Ответ: Чтобы получить графики преобразованных функций в табличном редакторе, необходимо:
1. Для $y = f(x) + b$: создать новый столбец, в котором к каждому значению $f(x)$ прибавляется константа $b$.
2. Для $y = f(x + a)$: создать новый столбец, в котором функция $f$ вычисляется для нового аргумента $(x+a)$.
3. Для $y = f(x+a) + b$: создать новый столбец, где выполняются оба вышеуказанных действия.
Автоматизация достигается путем вынесения параметров $a$ и $b$ в отдельные ячейки и использования абсолютных ссылок на них в формулах.

С помощью графического редактора

Предположим, у нас уже есть нарисованный в графическом редакторе (например, GeoGebra, Desmos или любом векторном редакторе) график функции $y=f(x)$. Графический редактор позволяет выполнять геометрические преобразования над объектами, в нашем случае — над кривой графика.

• Чтобы получить график функции $y = f(x) + b$:
  Это преобразование является параллельным переносом (сдвигом) графика вдоль оси ординат (OY).
  Инструменты: Нужно использовать инструмент "Перемещение" или "Параллельный перенос".
  Действия: Необходимо выделить весь график и переместить его на $b$ единиц вверх, если $b>0$, или на $|b|$ единиц вниз, если $b<0$.
• Чтобы получить график функции $y = f(x + a)$:
  Это преобразование является параллельным переносом (сдвигом) графика вдоль оси абсцисс (OX).
  Инструменты: Также используется инструмент "Перемещение" или "Параллельный перенос".
  Действия: Необходимо выделить весь график и переместить его на $a$ единиц влево, если $a>0$, или на $|a|$ единиц вправо, если $a<0$.
• Как использовать полученные результаты, чтобы получить график функции $y = f(x + a) + b$:
  Это преобразование является композицией двух предыдущих, то есть последовательным их применением. Это параллельный перенос на вектор $\vec{v}(-a, b)$.
  Действия: Можно выполнить два сдвига поочередно в любом порядке:
  1. Сначала сдвинуть исходный график $y=f(x)$ по горизонтали на $-a$, получив промежуточный график $y=f(x+a)$.
  2. Затем сдвинуть полученный график по вертикали на $b$, получив итоговый график $y=f(x+a)+b$.
  Либо наоборот: сначала сдвиг по вертикали, потом по горизонтали. Результат будет одинаковым. Некоторые графические редакторы позволяют выполнить перенос на заданный вектор $(\Delta x, \Delta y)$ за один шаг. В этом случае нужно задать $\Delta x = -a$ и $\Delta y = b$.

Ответ: Для получения графиков преобразованных функций из исходного графика $y=f(x)$ в графическом редакторе следует использовать инструмент "Перемещение" или "Параллельный перенос".
• Для $y=f(x)+b$ график сдвигается по вертикали на $b$ единиц.
• Для $y=f(x+a)$ график сдвигается по горизонтали на $-a$ единиц.
• Для $y=f(x+a)+b$ нужно последовательно выполнить оба этих сдвига (или один сдвиг на вектор с координатами $(-a, b)$).