Номер 14, страница 303 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

К § 14 «Математическое моделирование»

Проанализируйте задачи этого параграфа. Опишите каждую из них в наиболее общем виде. Найдите те из них, которые имеют одинаковые математические модели. Запишите алгоритм для решения каждой задачи в общем виде, опишите, что является входными и выходными данными для этого алгоритма.

Поскольку конкретные задачи из § 14 «Математическое моделирование» не предоставлены, в данном решении будет проведён анализ трёх распространённых типов задач, которые часто встречаются в подобных разделах. Для каждого типа задач будет выполнено требуемое в условии: описание в общем виде, построение математической модели, составление алгоритма решения, определение входных и выходных данных, а также сравнение моделей.

Задача 1: Задача на движение навстречу

Описание в наиболее общем виде: Два материальных объекта начинают одновременное движение навстречу друг другу из двух различных точек. Известны постоянные скорости обоих объектов и начальное расстояние между ними. Требуется определить промежуток времени, через который объекты встретятся.

Математическая модель: Пусть $S$ — начальное расстояние между объектами (в единицах длины), $v_1$ и $v_2$ — их скорости (в единицах длины за единицу времени). Пусть $t$ — искомое время до встречи. За время $t$ первый объект пройдёт расстояние $S_1 = v_1 \cdot t$, а второй — $S_2 = v_2 \cdot t$. В момент встречи сумма пройденных ими расстояний будет равна начальному расстоянию: $S_1 + S_2 = S$
Подставляя выражения для $S_1$ и $S_2$, получаем математическую модель в виде линейного уравнения относительно $t$: $v_1 t + v_2 t = S$
Вынеся $t$ за скобки, получаем: $(v_1 + v_2) t = S$
Величина $v_{сбл} = v_1 + v_2$ называется скоростью сближения. Итоговая формула для нахождения времени: $t = \frac{S}{v_1 + v_2}$.

Алгоритм решения, входные и выходные данные:
Алгоритм:
1. Ввести значения входных данных: скорость первого объекта $v_1$, скорость второго объекта $v_2$, начальное расстояние $S$.
2. Проверить корректность данных: $v_1 > 0, v_2 > 0, S > 0$.
3. Вычислить скорость сближения по формуле: $v_{сбл} = v_1 + v_2$.
4. Вычислить время до встречи по формуле: $t = S / v_{сбл}$.
5. Вывести полученное значение $t$.
Входные данные: Три положительных вещественных числа: $v_1$ (скорость первого объекта), $v_2$ (скорость второго объекта), $S$ (начальное расстояние).
Выходные данные: Одно положительное вещественное число: $t$ (время до встречи).

Ответ: Общий вид задачи — нахождение времени встречи двух объектов, движущихся навстречу с постоянными скоростями. Математическая модель: $t = S / (v_1 + v_2)$. Алгоритм состоит в последовательном вычислении скорости сближения и времени по данной формуле. Входными данными являются скорости $v_1, v_2$ и расстояние $S$, выходными — время $t$.

Задача 2: Задача на совместную работу

Описание в наиболее общем виде: Два исполнителя (например, рабочие, насосы, принтеры) могут выполнить некоторый фиксированный объем работы, действуя поодиночке. Известно время, которое требуется каждому исполнителю на выполнение всего объема работы. Требуется определить, за какое время они выполнят этот же объем работы, действуя одновременно и независимо.

Математическая модель: Примем весь объем работы $A$ за условную единицу ($A=1$). Пусть $T_1$ и $T_2$ — время, за которое каждый исполнитель выполняет всю работу в одиночку. Тогда их производительность (скорость выполнения работы) равна $P_1 = A/T_1 = 1/T_1$ и $P_2 = A/T_2 = 1/T_2$ соответственно. При совместной работе их производительности складываются, так как они работают независимо. Общая производительность: $P_{общ} = P_1 + P_2$. Время $t_{совм}$, необходимое для выполнения работы совместно, находится по формуле: $t_{совм} = \frac{A}{P_{общ}} = \frac{1}{P_1 + P_2}$
Подставив выражения для производительностей, получим итоговую формулу: $t_{совм} = \frac{1}{\frac{1}{T_1} + \frac{1}{T_2}} = \frac{T_1 T_2}{T_1 + T_2}$.

Алгоритм решения, входные и выходные данные:
Алгоритм:
1. Ввести значения входных данных: время работы первого исполнителя $T_1$ и второго $T_2$.
2. Проверить корректность данных: $T_1 > 0, T_2 > 0$.
3. Вычислить производительность каждого исполнителя: $P_1 = 1/T_1$, $P_2 = 1/T_2$.
4. Вычислить общую производительность: $P_{общ} = P_1 + P_2$.
5. Вычислить время совместной работы: $t_{совм} = 1 / P_{общ}$.
6. Вывести полученное значение $t_{совм}$.
Входные данные: Два положительных вещественных числа: $T_1$ (время работы первого исполнителя), $T_2$ (время работы второго исполнителя).
Выходные данные: Одно положительное вещественное число: $t_{совм}$ (время совместной работы).

Ответ: Общий вид задачи — нахождение времени выполнения работы двумя исполнителями совместно. Математическая модель: $t_{совм} = (T_1 T_2) / (T_1 + T_2)$. Алгоритм основан на вычислении производительностей и их сложении. Входные данные — индивидуальные времена $T_1, T_2$, выходные — совместное время $t_{совм}$.

Задача 3: Задача на смеси и сплавы

Описание в наиболее общем виде: Имеются два раствора (сплава) одного и того же вещества с разной концентрацией. Известны массы и концентрации (в долях или процентах) каждого исходного раствора. Их смешивают. Требуется найти концентрацию получившейся смеси.

Математическая модель: Пусть $m_1$ и $m_2$ — массы двух растворов, а $c_1$ и $c_2$ — их концентрации (выраженные в долях, от 0 до 1). Масса чистого (растворённого) вещества в первом растворе равна $m_{в1} = m_1 \cdot c_1$, а во втором — $m_{в2} = m_2 \cdot c_2$. При смешивании массы складываются. Общая масса смеси: $m_{см} = m_1 + m_2$. Общая масса чистого вещества в смеси: $m_{в\_см} = m_{в1} + m_{в2} = m_1 c_1 + m_2 c_2$. Концентрация новой смеси $c_{см}$ по определению есть отношение массы чистого вещества к общей массе смеси. Итоговая формула (взвешенное среднее): $c_{см} = \frac{m_{в\_см}}{m_{см}} = \frac{m_1 c_1 + m_2 c_2}{m_1 + m_2}$.

Алгоритм решения, входные и выходные данные:
Алгоритм:
1. Ввести значения входных данных: масса $m_1$ и концентрация $c_1$ первого раствора; масса $m_2$ и концентрация $c_2$ второго раствора.
2. Проверить корректность данных: $m_1 \ge 0, m_2 \ge 0, 0 \le c_1 \le 1, 0 \le c_2 \le 1$.
3. Вычислить массу чистого вещества в итоговой смеси: $m_{в\_см} = m_1 c_1 + m_2 c_2$.
4. Вычислить общую массу смеси: $m_{см} = m_1 + m_2$.
5. Если $m_{см} > 0$, вычислить концентрацию смеси: $c_{см} = m_{в\_см} / m_{см}$. В противном случае (если обе массы 0), концентрация не определена или равна 0.
6. Вывести полученное значение $c_{см}$.
Входные данные: Четыре вещественных числа: $m_1, c_1, m_2, c_2$.
Выходные данные: Одно вещественное число: $c_{см}$ (концентрация смеси).

Ответ: Общий вид задачи — нахождение концентрации смеси двух растворов. Математическая модель — формула взвешенного среднего: $c_{см} = (m_1 c_1 + m_2 c_2) / (m_1 + m_2)$. Алгоритм сводится к вычислению по этой формуле. Входные данные — массы и концентрации $m_1, c_1, m_2, c_2$, выходные — итоговая концентрация $c_{см}$.

Поиск задач с одинаковыми математическими моделями

При сравнении построенных математических моделей можно обнаружить, что задачи на движение навстречу и задачи на совместную работу имеют одинаковую фундаментальную структуру.

Несмотря на то, что итоговые формулы для расчёта ответа выглядят по-разному ($t = S/(v_1 + v_2)$ и $t_{совм} = (T_1 T_2)/(T_1 + T_2)$), обе модели описывают процесс, в котором для достижения результата складываются "скорости" участников.
- В задаче на движение "объемом", который нужно преодолеть, является расстояние $S$, а "скоростями" — скорости объектов $v_1$ и $v_2$. Общая скорость (скорость сближения) — это сумма $v_1 + v_2$.
- В задаче на работу "объемом" является работа $A=1$, а "скоростями" — производительности $P_1 = 1/T_1$ и $P_2 = 1/T_2$. Общая скорость (производительность) — это сумма $P_1 + P_2$.

Таким образом, обе задачи сводятся к одной и той же абстрактной модели: Время = (Общий объем процесса) / (Сумма скоростей участников).
Задача на смеси и сплавы имеет принципиально иную математическую модель, основанную на концепции взвешенного среднего, а не на сложении скоростей.

Ответ: Задачи на движение навстречу и задачи на совместную работу имеют одинаковые математические модели. Их общая структура основана на принципе сложения скоростей (или производительностей) для нахождения времени завершения процесса.