Номер 16, страница 303 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

К § 16 «Абсолютная и относительная погрешности»

Найдите в Интернете какие-либо интересные статистические данные о нашей стране. Какие из этих данных являются точными, а какие — приближёнными? Можно ли по приведённым данным оценить абсолютную погрешность приближения; относительную погрешность? Удалось ли вам найти данные, вместе с которыми приведена погрешность?

Для ответа на этот вопрос воспользуемся данными из открытых источников, в основном с портала Федеральной службы государственной статистики (Росстат) и других официальных ресурсов.

Найдите в Интернете какие-либо интересные статистические данные о нашей стране.

1. Площадь территории Российской Федерации: 17 125 191 км².

2. Численность постоянного населения Российской Федерации на 1 января 2023 года: 146 424 729 человек.

3. Количество субъектов Российской Федерации на 2023 год: 89.

4. Данные социологического опроса (ВЦИОМ, ноябрь 2023 г.): на вопрос "Доверяете ли Вы Владимиру Путину?" 78,5% респондентов ответили "да". Статистическая погрешность выборки не превышает 1%.

Ответ: Приведены статистические данные о площади, населении, административном делении РФ и результатах социологического опроса.

Какие из этих данных являются точными, а какие – приближёнными?

Разберем каждый пункт:

• Точные данные. К точным данным относится количество субъектов РФ (89). Это целочисленная, конечная величина, установленная законодательно (Конституцией РФ). Она не является результатом измерений или оценок и может измениться только путем внесения поправок в закон, а не в результате уточнения измерений.
• Приближённые данные. К приближённым данным относятся все остальные приведенные значения.
  • Площадь территории (17 125 191 км²) является приближенной. Границы страны, особенно морские, имеют сложную (фрактальную) форму, и их точное измерение невозможно. Результат зависит от метода и масштаба измерений и всегда представляет собой округленное значение.
  • Численность населения (146 424 729 человек) является приближенной. Это оценочное значение. Население страны постоянно меняется из-за рождений, смертей и миграции. Данные получают на основе последней переписи населения и корректируют с помощью данных ЗАГС и миграционных служб, что также вносит погрешность. Для удобства это число часто округляют, например, до 146,4 млн человек.
  • Результаты социологического опроса (78,5%) являются приближенными, так как они получены на основе опроса выборки (небольшой части всего населения), а не всего населения целиком. Результат экстраполируется на всю генеральную совокупность с определенной погрешностью.

Ответ: Точными данными является количество субъектов РФ. Приближенными являются данные о площади, численности населения и результатах социологического опроса.

Можно ли по приведённым данным оценить абсолютную погрешность приближения; относительную погрешность?

Да, можно оценить погрешность, которая возникает, например, при округлении данных. Возьмем данные о численности населения. Часто в СМИ и отчетах используют округленное значение.

Пусть "точное" значение (хотя оно само является оценкой) $x = 146 424 729$ человек. Округлим его до десятых долей миллиона: $a = 146,4$ млн человек, или $a = 146 400 000$ человек.

1. Абсолютная погрешность — это модуль разности между точным и приближённым значением: $\Delta = |x - a|$.

$\Delta = |146 424 729 - 146 400 000| = 24 729$ человек.

Также можно оценить предельную абсолютную погрешность самого округления. При округлении до десятых долей миллиона (до 100 000), предельная погрешность составляет половину этой величины: $100 000 / 2 = 50 000$ человек. Наша реальная погрешность (24 729) меньше этой предельной оценки.

2. Относительная погрешность — это отношение абсолютной погрешности к модулю точного значения: $\epsilon = \frac{\Delta}{|x|}$. Её часто выражают в процентах.

$\epsilon = \frac{24 729}{146 424 729} \approx 0,00016888$

В процентах это составит: $0,00016888 \times 100\% \approx 0,017\%$.

Относительная погрешность очень мала, что говорит о высокой точности приближения при таком округлении.

Ответ: Да, на примере округления данных о численности населения можно оценить абсолютную погрешность ($\Delta = 24 729$ человек) и относительную погрешность ($\epsilon \approx 0,017\%$).

Удалось ли вам найти данные, вместе с которыми приведена погрешность?

Да, удалось. В пункте 4 приведены данные социологического опроса ВЦИОМ. Для таких данных практически всегда указывается статистическая погрешность.

Данные: Уровень доверия президенту составляет $78,5\%$.

Приведенная погрешность: "Статистическая погрешность выборки не превышает 1%".

Это означает, что абсолютная погрешность измерения составляет не более $1\%$. То есть, если бы мы опросили всё взрослое население России, то "истинный" процент доверяющих с высокой вероятностью (обычно 95%) находился бы в интервале:

$[78,5\% - 1\%; 78,5\% + 1\%] = [77,5\%; 79,5\%]$

Здесь погрешность известна заранее и является неотъемлемой характеристикой самого метода сбора данных (выборочного опроса).

Ответ: Да, удалось найти данные социологического опроса, где погрешность (не более 1%) была явно указана вместе с результатом (78,5%).