Номер 23, страница 305 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

К § 23 «Сумма $n$ первых членов арифметической прогрессии»

Создайте в табличном редакторе таблицу, первый столбец которой содержит номер $k$ члена арифметической прогрессии, второй — значение данного члена, третий — сумму $k$ первых членов арифметической прогрессии. Максимальное значение $k$ выберите на своё усмотрение. Можете ли вы полностью автоматизировать построение этой таблицы по данным значениям $a_1$ и $d$?

Да, такую таблицу можно создать и полностью автоматизировать в любом табличном редакторе (например, Microsoft Excel, Google Sheets, LibreOffice Calc). Автоматизация достигается за счет использования формул и ссылок на ячейки, где хранятся исходные данные арифметической прогрессии: первый член $a_1$ и разность $d$. Ниже представлено развернутое решение задачи.

Создание таблицы членов и сумм арифметической прогрессии

Рассмотрим пошаговый процесс создания таблицы. В качестве примера возьмем арифметическую прогрессию с первым членом $a_1 = 5$ и разностью $d = 3$. Максимальное значение номера члена $k$ выберем равным 20.

Шаг 1: Подготовка листа и ввод исходных данных

Чтобы таблица была автоматизированной, вынесем исходные параметры в отдельные ячейки. Это позволит изменять их в одном месте и мгновенно пересчитывать всю таблицу.

• В ячейку E1 введите текст "Первый член (a₁):", а в ячейку F1 — значение первого члена, то есть 5.
• В ячейку E2 введите текст "Разность (d):", а в ячейку F2 — значение разности, то есть 3.
• Создайте заголовки для столбцов таблицы. В ячейку A1 введите "k (номер члена)", в B1 — "$a_k$ (значение члена)", в C1 — "$S_k$ (сумма k членов)".

Шаг 2: Заполнение столбца с номерами членов (k)

Этот столбец будет содержать последовательные натуральные числа от 1 до 20.

• В ячейку A2 введите число 1.
• В ячейку A3 введите формулу =A2+1.
• Выделите ячейку A3, наведите курсор на ее правый нижний угол (маркер автозаполнения) и протяните его вниз до ячейки A21. В результате столбец заполнится числами от 1 до 20.

Шаг 3: Заполнение столбца со значениями членов прогрессии ($a_k$)

Значение $k$-го члена арифметической прогрессии вычисляется по формуле $a_k = a_1 + (k-1)d$. В табличном редакторе удобнее использовать рекуррентную формулу: $a_k = a_{k-1} + d$.

• Первый член прогрессии $a_1$ равен значению в ячейке F1. Поэтому в ячейку B2 введите формулу: =$F$1. Знаки доллара $ создают абсолютную ссылку, чтобы при копировании формулы она всегда указывала на ячейку F1.
• Для второго члена ($a_2$) и последующих используем рекуррентную формулу. В ячейку B3 введите формулу: =B2+$F$2. Ссылка на B2 (предыдущий член) является относительной, а на $F$2 (разность прогрессии) — абсолютной.
• Протяните формулу из ячейки B3 вниз до ячейки B21 с помощью маркера автозаполнения. Таблица автоматически рассчитает все члены прогрессии.

Шаг 4: Заполнение столбца с суммой первых k членов ($S_k$)

Сумму $S_k$ также удобно вычислять рекуррентно: $S_k = S_{k-1} + a_k$. Сумма первого члена равна самому первому члену: $S_1 = a_1$.

• В ячейку C2 введите формулу =B2, так как $S_1 = a_1$.
• В ячейку C3 введите рекуррентную формулу для суммы: =C2+B3. Эта формула берет сумму предыдущих членов (из C2) и прибавляет к ней текущий член (из B3).
• Протяните формулу из ячейки C3 вниз до ячейки C21.

В результате вы получите полностью готовую таблицу. Если вы измените значения в ячейках F1 (для $a_1$) или F2 (для $d$), все значения в столбцах B и C мгновенно пересчитаются в соответствии с новыми параметрами.

Ответ: Процесс создания таблицы подробно описан в шагах 1-4. Он заключается в настройке ячеек для исходных данных, заполнении столбца с номерами членов и последующем использовании рекуррентных формул с абсолютными ссылками на исходные данные для вычисления членов прогрессии и их сумм.

Можете ли вы полностью автоматизировать построение этой таблицы по данным значениям $a_1$ и $d$?

Да, построение этой таблицы можно полностью автоматизировать. Описанный выше метод как раз и является примером такой автоматизации.

Ключевые элементы, обеспечивающие автоматизацию:

1. Выделенные ячейки для ввода данных: Параметры прогрессии ($a_1$ и $d$) вводятся в отдельные, предназначенные для этого ячейки. Пользователю не нужно редактировать формулы в таблице, достаточно изменить значения в этих двух ячейках.
2. Использование формул с абсолютными ссылками: В формулах для вычислений используются абсолютные ссылки (например, $F$1, $F$2) на ячейки с параметрами $a_1$ и $d$. Это гарантирует, что при копировании (протягивании) формул по столбцу они всегда будут обращаться к правильным исходным данным, а не смещаться.
3. Автоматический пересчет: Табличные редакторы по умолчанию настроены на автоматический пересчет всех зависимых ячеек при изменении данных. Таким образом, любое изменение $a_1$ или $d$ приводит к мгновенному обновлению всей таблицы без каких-либо дополнительных действий со стороны пользователя.

Таким образом, созданная таблица является полностью автоматизированной относительно входных параметров $a_1$ и $d$ для заданного количества членов $k$.

Ответ: Да, построение таблицы можно полностью автоматизировать. Это достигается за счет вынесения исходных данных ($a_1$ и $d$) в отдельные ячейки и использования формул с абсолютными ссылками на эти ячейки для всех вычислений в таблице.